Um cofre o oito chaves
Distribuição de probabilidades: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 105 Ex. 36
Um homem tem 8 chaves, das quais apenas uma abre um cofre.
Sabe-se que, após cada tentativa, o homem separa a chave utilizada.
- Calcule a probabilidade dos acontecimentos:
A: “Abriu o cofre na primeira tentativa“;
B: “Abriu o cofre somente na segunda tentativa“.
- Considere a variável aleatória X: “número de tentativas efetuadas até abrir o cofre” e construa a respetiva distribuição de probabilidades.
- Determine a esperança matemática e o desvio padrão da distribuição.
- Ora, $P(A)=\frac{1}{8}$ e $P(B)=\frac{7}{8}\times \frac{1}{7}=\frac{1}{8}$.
- Vamos considerar que o enunciado da variável aleatória tem sentido inclusivo.
Como,
$P(X=1)=P(A)=\frac{1}{8}$
$P(X=2)=P(B)=\frac{7}{8}\times \frac{1}{7}=\frac{1}{8}$
$P(X=3)=\frac{7}{8}\times \frac{6}{7}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{8}$
$P(X=4)=\frac{7}{8}\times \frac{6}{7}\times \frac{5}{6}\times \frac{1}{5}=\frac{1}{8}$
$P(X=5)=\frac{7}{8}\times \frac{6}{7}\times \frac{5}{6}\times \frac{4}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{8}$
$P(X=6)=\frac{7}{8}\times \frac{6}{7}\times \frac{5}{6}\times \frac{4}{5}\times \frac{3}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{8}$
$P(X=7)=\frac{7}{8}\times \frac{6}{7}\times \frac{5}{6}\times \frac{4}{5}\times \frac{3}{4}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
$P(X=8)=\frac{7}{8}\times \frac{6}{7}\times \frac{5}{6}\times \frac{4}{5}\times \frac{3}{4}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{1}=\frac{1}{8}$a distribuição de probabilidades é:
$X={{x}_{i}}$ 1 2 3 4 5 6 7 8 $P(X={{x}_{i}})$ $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{8}$
- A esperança matemática é \[\mu =\frac{1}{8}\times (1+2+3+4+5+6+7+8)=\frac{1}{8}\times \frac{1+8}{2}\times 8=\frac{9}{2}=4,5\] e o desvio padrão é \[\sigma =\sqrt{\frac{1}{8}\times \left[ {{\left( 1-\frac{9}{2} \right)}^{2}}+{{\left( 2-\frac{9}{2} \right)}^{2}}+…+{{\left( 7-\frac{9}{2} \right)}^{2}}+{{\left( 8-\frac{9}{2} \right)}^{2}} \right]}=\sqrt{\frac{21}{4}}=\frac{\sqrt{21}}{2}\approx 2,29\]
