Uma turma do 12.º ano

Definição axiomática e propriedades das probabilidades

by AMMA · Published 16 de Outubro de 2011 · Updated 25 de Janeiro de 2022

Enunciado

Uma turma de 12.º ano é constituída por raparigas, umas de 16 anos e as restantes de 17 anos, e por rapazes, uns de 17 anos e os restantes de 18 anos.

Os alunos dessa turma estão numerados consecutivamente, a partir do número 1.

Escolhe-se, ao acaso, um aluno dessa turma e regista-se o número, a idade e o sexo desse aluno.

Em cada uma das opções seguintes estão indicados dois acontecimentos, X e Y, associados a esta experiência aleatória.

Opção 1:

X : «O aluno escolhido tem idade superior ou igual a 17 anos»
Y: «O aluno escolhido tem 16 ou 17 anos»

Opção 2:

X: «o número do aluno escolhido é par»
Y: «O número do aluno escolhido é múltiplo de 4»

Opção 3:

X: «O aluno escolhido tem 18 anos»
Y: «O aluno escolhido é rapariga»

Opção 4:

X: «O aluno escolhido é rapaz»
Y: «O aluno escolhido tem 17 anos»

Em apenas uma das opções acima apresentadas os acontecimentos X e Y são tais que são verdadeiras as três afirmações seguintes:

$P(X\cup Y)>P(X)$, $P(X\cup Y)<1$ e $P(X\cap Y)>0$.

Qual é essa opção?
Numa pequena composição, explique por que é que rejeita as outras três opções (para cada uma delas, indique, justificando, qual é a afirmação falsa).

Resolução

Opção 1:
$X\cup Y$ é um acontecimento certo, pois todos os alunos têm idade superior ou igual a 16 anos.
Logo, é falsa a afirmação $P(X\cup Y)<1$.

Opção 2:
Como $X\cup Y=X$, pois todos os números múltiplos de 4 são pares, então é falsa a afirmação $P(X\cup Y)>P(X)$.

Opção 3:
Como $X\cap Y=\left\{ {} \right\}$, pois não existem raparigas com 18 anos, então a afirmação $P(X\cap Y)>0$ é falsa

Na opção 4 todas as afirmações são verdadeiras.