Considere o cubo
Resolução de problemas de geometria: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 56 Ex. 2
Cubo
Considere o cubo [ABCDEFGH] representado na figura.
- Diga se são paralelos ou secantes e defina com precisão a intersecção:
a) da reta CE com o plano ABF;
b) da reta BE com o plano ADG;
c) da reta EH com o plano ADG;
d) da reta DH com o plano ACG. - Seja I o ponto médio do segmento [BC].
a) Construa a intersecção da reta EI com o plano ABG.
b) Construa a intersecção dos planos DEI e ABG.
c) Indique duas retas perpendiculares a AD. As retas EC e AG são perpendiculares?
d) Utilizando duas cores, represente os planos BDH e AEG. Estes dois planos intersectam o plano BCE segundo duas retas. Faça uma figura, representando no plano BCE o retângulo [BCEF] e as duas retas.
e) Os planos BDH e AEG são secantes? São paralelos? As retas que contêm as diagonais faciais DB e FH são perpendiculares? Porquê?
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Intersecção da reta EI com o plano ABG
a) A reta CE é paralela ao plano ABF.
b) A reta BE interseta o plano ADG no centro do cubo.
c) A reta EH interseta o plano ADG no ponto H.
d) A reta DH é paralela ao plano ACG (pois é paralela à reta AG, contida no plano ACG).
- a) A intersecção da reta EI com o plano ABG é o ponto P.
Justificação:
A intersecção dos planos ABG e EFB é a reta FB.
Ora, a reta EI pertence ao plano EFB.
Logo, o ponto P pertence aos dois planos considerados e, consequentemente, é a intersecção da reta EI com o plano ABG.b) A intersecção dos planos DEI e ABG é a reta $t$ (paralela a DE).
Justificação:
A intersecção das retas DI e AB do plano ABD é o ponto Q.
Como a reta DI pertence ao plano DEI, então o ponto Q é também um ponto deste plano.
Como os planos ABG e CDE são paralelos, então o plano DEI interseta-os segundo retas paralelas: as retas DE e $t$ (a qual contém o ponto Q).A reta t é a intersecção dos planos DEI e ABG
Representação dos planos BDH e AEG
c) Duas retas perpendiculares a AD são: AB e DH (por exemplo).
As retas EC e AG são perpendiculares não complanares.d) O plano BDH (verde alface) interseta o plano BCE (verde escuro) na reta BJ.
O plano AEG (azul) interseta o plano BCE na reta EK.
As retas BJ e EK são paralelas.e) Não, os planos BDH e AEG não são secantes, pois são estritamente paralelos.
As diagonais DB e FH são não complanares e perpendiculares, pois, se no plano FGH, traçarmos uma paralela a DB, obtemos EG, perpendicular a FH.
