As razões trigonométricas dos ângulos de \(30^\circ \), \(45^\circ \) e \(60^\circ \)
Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 56 Ex. 9
Enunciado
- Qual é a medida da amplitude do ângulo UDA? Justifica.
- Calcula, a partir do quadrado de lado a, os valores exatos de \({\mathop{\rm sen}\nolimits} 45^\circ \), \(\cos 45^\circ \) e \({\mathop{\rm tg}\nolimits} 45^\circ \).
- Considera o seguinte triângulo equilátero [ABC] de lado x no qual foi traçada uma das suas alturas.
- Escreve o comprimento da altura, h, do triângulo em função de x.
- Qual é a medida da amplitude do ângulo interno ABC do triângulo? Justifica.
- Qual é a medida da amplitude do ângulo BAD? Justifica.
- Calcula, a partir do triângulo [ADC], os valores exatos de \({\mathop{\rm sen}\nolimits} 60^\circ \), \(\cos 60^\circ \) e \({\mathop{\rm tg}\nolimits} 60^\circ \).
- Calcula, a partir do triângulo [ADC], os valores exatos de \({\mathop{\rm sen}\nolimits} 30^\circ \), \(\cos 30^\circ \) e \({\mathop{\rm tg}\nolimits} 30^\circ \).
Resolução
- Qual é a medida da amplitude do ângulo UDA? Justifica.
A amplitude do ângulo UDA é 45 graus, pois o triângulo [UDA] é retângulo isósceles. - Calcula, a partir do quadrado de lado a, os valores exatos de \({\mathop{\rm sen}\nolimits} 45^\circ \), \(\cos 45^\circ \) e \({\mathop{\rm tg}\nolimits} 45^\circ \).
- \({\mathop{\rm sen}\nolimits} 45^\circ = \frac{{\overline {UA} }}{{\overline {UD} }} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \times \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
- \(\cos 45^\circ = \frac{{\overline {AD} }}{{\overline {UD} }} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \times \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
- \({\mathop{\rm tg}\nolimits} 45^\circ = \frac{{\overline {UA} }}{{\overline {AD} }} = \frac{a}{a} = 1\)
- Escreve o comprimento da altura, h, do triângulo em função de x.
Por aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [ACD], vem:
\[h = \sqrt {{{\overline {AC} }^2} – {{\left( {\frac{{\overline {BD} }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} – {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} – {{\frac{x}{4}}^2}} = \sqrt {\frac{{3{x^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x\] - Qual é a medida da amplitude do ângulo interno ABC do triângulo? Justifica.
A amplitude do ângulo interno ABC é 60 graus, pois o triângulo [ABC] é equiângulo, visto ser equilátero. - Qual é a medida da amplitude do ângulo BAD? Justifica.
Como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus, vem:
\(B\widehat AD = 180^\circ – \left( {A\widehat BD + A\widehat DB} \right) = 180^\circ – \left( {60^\circ + 90^\circ } \right) = 30^\circ \). - Calcula, a partir do triângulo [ADC], os valores exatos de \({\mathop{\rm sen}\nolimits} 60^\circ \), \(\cos 60^\circ \) e \({\mathop{\rm tg}\nolimits} 60^\circ \).
- \({\mathop{\rm sen}\nolimits} 60^\circ = \frac{{\overline {AD} }}{{\overline {AB} }} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}x}}{x} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
- \(\cos 60^\circ = \frac{{\overline {BD} }}{{\overline {AB} }} = \frac{{\frac{x}{2}}}{x} = \frac{1}{2}\)
- \({\mathop{\rm tg}\nolimits} 60^\circ = \frac{{\overline {AD} }}{{\overline {BD} }} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}x}}{{\frac{x}{2}}} = \sqrt 3 \)
- Calcula, a partir do triângulo [ADC], os valores exatos de \({\mathop{\rm sen}\nolimits} 30^\circ \), \(\cos 30^\circ \) e \({\mathop{\rm tg}\nolimits} 30^\circ \).
- \({\mathop{\rm sen}\nolimits} 30^\circ = \frac{{\overline {BD} }}{{\overline {AB} }} = \frac{{\frac{x}{2}}}{x} = \frac{1}{2}\)
- \(\cos 30^\circ = \frac{{\overline {AD} }}{{\overline {AB} }} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}x}}{x} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
- \({\mathop{\rm tg}\nolimits} 30^\circ = \frac{{\overline {BD} }}{{\overline {AD} }} = \frac{{\frac{x}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}x}} = \frac{x}{2} \times \frac{2}{{x\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \times \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Síntese
As razões trigonométricas dos ângulos de \(30^\circ \), \(45^\circ \) e \(60^\circ \)
\(\alpha \) \(30^\circ \) \(45^\circ \) \(60^\circ \) \({\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha \) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) \(\cos \alpha \) \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \({\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \) \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) \(1\) \(\sqrt 3 \)