Para que um remédio produza o efeito desejado
Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 16
Para que um remédio produza o efeito desejado, a sua concentração na corrente sanguínea deve estar acima de um certo valor, o nível terapêutico mínimo.
Suponhamos que a concentração c de um remédio, t horas após ser ingerido, é dada, em mg/l, por: \[c(t)=\frac{20t}{{{t}^{2}}+4}\]
Se o nível terapêutico mínimo é de 4 mg/l, determine quando este nível é excedido.
Começando por uma resolução gráfica, temos:
O nível terapêutico mínimo de 4 mg/l é ultrapassado entre a 1.ª e 4.ª horas após o remédio ter sido ingerido.
Resolvendo analiticamente, vem:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
c(t)>4 & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{l}}
\frac{20t}{{{t}^{2}}+4}>4 & \wedge & t\ge 0 \\
\end{array} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{l}}
\frac{20t-4{{t}^{2}}-16}{{{t}^{2}}+4}>0 & \wedge & t\ge 0 \\
\end{array} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{l}}
20t-4{{t}^{2}}-16>0 & \wedge & t\ge 0\,(pois\,{{t}^{2}}+4>0) \\
\end{array} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{l}}
{{t}^{2}}-5t+4<0 & \wedge & t\ge 0 \\
\end{array} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{l}}
(t-1)(t-4)<0 & \wedge & t\ge 0 \\
\end{array} \\
{} & \Leftrightarrow & t\in \left] 1,4 \right[ \\
\end{array}\]
Cálculos auxiliares:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
{{t}^{2}}-5t+4=0 & \Leftrightarrow & t=\frac{5\pm \sqrt{25-16}}{2} \\
{} & \Leftrightarrow & t=\frac{5\pm 3}{2} \\
{} & \Leftrightarrow & t=1\vee t=4 \\
\end{array}\]
