Uma caixa com latas de refrigerante
Módulo inicial: Matemática A 10.º - Parte 1 - Pág. 39 Ex. 31
Base da caixa
Imagine que alguém pensou acondicionar latas de $75$ cl de refrigerante numa caixa prismática cuja base é um paralelogramo obliquângulo, como mostra a figura.
- Se o raio da base de cada lata medir $4$ cm, qual é a área da base da caixa?
Sugestão: No esquema, marcaram-se vários raios de circunferências. Recorrendo aos seus conhecimentos sobre triângulos (acutângulos ou retângulos) ou ao Teorema de Pitágoras, determine o comprimento e a altura do paralelogramo. - As latas têm $16$ cm de altura. Qual será o volume da caixa se tiver a altura das latas?
- Determine uma medida para a eficácia desta caixa e compare-a com a eficácia da caixa paralelepipédica que, em alternativa, poderia ser usada para guardar as seis latas.
- A altura e o comprimento da base do polígono base da caixa são dados, respetivamente, por: $h = \overline {LC} + \overline {CM} + \overline {AH} $ e $b = \overline {FG} + \overline {GI} + \overline {IJ} $.
Comecemos por determinar a altura (em cm) do triângulo equilátero [ABC]:
$$\overline {CM} = \sqrt {{{\overline {CB} }^2} – {{\overline {MB} }^2}} = \sqrt {{8^2} – {4^2}} = \sqrt {64 – 16} = \sqrt {48} = \sqrt {16 \times 3} = 4\sqrt 3 $$Portanto, a altura (em cm) do paralelogramo é: $h = 4 + 4\sqrt 3 + 4 = 8 + 4\sqrt 3 $.
Ora, uma leitura atenta da figura permite concluir que os triângulos retângulos [BCM] e [BIJ] são geometricamente iguais (ALA – note que os catetos [BM] e [BI] são geometricamente iguais, bem como os ângulos adjacentes a esses lados, cada um a cada um).
Consequentemente, temos: $\overline {IJ} = \overline {CM} = 4\sqrt 3 $.Por outro lado, os triângulos [DFG] e [CMB] são semelhantes (AA), pelo que os comprimentos dos lados correspondentes são diretamente proporcionais: $$\frac{{\overline {FG} }}{{\overline {BM} }} = \frac{{\overline {DG} }}{{\overline {CM} }}$$
Donde, substituindo os valores conhecidos, resulta:
$$\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\overline {FG} }}{4} = \frac{4}{{4\sqrt 3 }}}& \Leftrightarrow &{\overline {FG} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}} \\ {}& \Leftrightarrow &{\overline {FG} = \frac{4}{{\sqrt 3 }} \times \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}} \\ {}& \Leftrightarrow &{\overline {FG} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}} \end{array}$$
Assim, o comprimento (em cm) da base do paralelogramo é:
$$b = \frac{{4\sqrt 3 }}{3} + 16 + 4\sqrt 3 = 16 + \frac{{16\sqrt 3 }}{3}$$
Portanto, a área (em cm2) da base da caixa é:
$${A_b} = \left( {16 + \frac{{16\sqrt 3 }}{3}} \right) \times \left( {8 + 4\sqrt 3 } \right) = 128 + 64\sqrt 3 + \frac{{128\sqrt 3 }}{3} + \frac{{64 \times 3}}{3} = 192 + \frac{{320\sqrt 3 }}{3}$$ - Como a caixa tem a altura das latas, o seu volume (em cm3) é:
$${V_C} = \left( {192 + \frac{{320\sqrt 3 }}{3}} \right) \times 16 = 3072 + \frac{{5120\sqrt 3 }}{3}$$ - O volume das seis latas (em cm3) é ${V_{Latas}} = 6 \times \left( {\pi \times {4^2} \times 16} \right) = 1536\pi $, pelo que a eficácia desta caixa é:
$$E{f_1} = \frac{{1536\pi }}{{3072 + \frac{{5120\sqrt 3 }}{3}}} \approx 0,80$$
Quanto à caixa paralelepipédica, a sua base será um retângulo com $24$ cm de comprimento e $16$ cm de largura (Porquê?).
Assim, o seu volume (em cm3) é ${V_{C – P}} = \left( {24 \times 16} \right) \times 16 = 6144$, pelo que a sua eficácia é:
$$E{f_2} = \frac{{1536\pi }}{{6144}} \approx 0,79$$A caixa paralelepipédica é ligeiramente menos eficaz.
