Duas funções racionais
Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 17
Sejam
\[\begin{matrix}
f:x\to \frac{2x+1}{{{x}^{2}}-1} & e & g:x\to \frac{2}{x-1} \\
\end{matrix}\]
- Mostre que $f+g$ e $f-g$ são funções racionais e determine o seu domínio.
- Resolva gráfica e analiticamente as condições:a) $f(x)\ge 1$
b) $g(x)\ge x$
c) $f(x)<-\frac{1}{2}$
d) $f(x)\ge g(x)$
- Determine gráfica e analiticamente as coordenadas dos pontos do gráfico de g que têm abcissa igual à ordenada.
- Ora, ${{D}_{f}}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1,1 \right\}$ e ${{D}_{g}}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.\[f(x)+g(x)=\frac{2x+1}{{{x}^{2}}-1}+\frac{2}{\underset{(x+1)}{\mathop{x-1}}\,}=\frac{2x+1+2x+2}{{{x}^{2}}-1}=\frac{4x+3}{{{x}^{2}}-1}\]
\[f(x)-g(x)=\frac{2x+1}{{{x}^{2}}-1}-\frac{2}{\underset{(x+1)}{\mathop{x-1}}\,}=\frac{2x+1-2x-2}{{{x}^{2}}-1}=\frac{-1}{{{x}^{2}}-1}\]
${{D}_{f+g}}={{D}_{f-g}}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1,1 \right\}$
As funções $f+g$ e $f-g$ são funções racionais, pois são o quociente de duas funçõoes polinomiais, sendo o divisor diferente do polinómio nulo:
\[\begin{matrix}
f+g: & \mathbb{R}\backslash \left\{ -1,1 \right\}\to \mathbb{R} \\
{} & x\to \frac{4x+3}{{{x}^{2}}-1} \\
\end{matrix}\]\[\begin{matrix}
f-g: & \mathbb{R}\backslash \left\{ -1,1 \right\}\to \mathbb{R} \\
{} & x\to \frac{-1}{{{x}^{2}}-1} \\
\end{matrix}\] - a) $f(x)\ge 1$
\[\begin{array}{*{35}{l}}
f(x)\ge 1 & \Leftrightarrow & \frac{2x+1}{{{x}^{2}}-1}\ge 1 \\
{} & \Leftrightarrow & \frac{2x+1-{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-1}\ge 0 \\
{} & \Leftrightarrow & \frac{-{{x}^{2}}+2x+2}{{{x}^{2}}-1}\ge 0 \\
\end{array}\]Cálculos auxiliares:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
-{{x}^{2}}+2x+2=0 & \Leftrightarrow & x=\frac{-2\pm \sqrt{4+8}}{-2} \\
{} & \Leftrightarrow & x=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{-2} \\
{} & \Leftrightarrow & x=1-\sqrt{3}\vee x=1+\sqrt{3} \\
\end{array}\]$x$ $-\infty $ $-1$ $1-\sqrt{3}$ $1$ $1+\sqrt{3}$ $+\infty $ $-{{x}^{2}}+2x+2$ – – – 0 + + + 0 – ${{x}^{2}}-1$ + 0 – – – 0 + + + $\frac{-{{x}^{2}}+2x+2}{{{x}^{2}}-1}$ – n.d. + 0 – n.d. + 0 – Portanto, $f(x)\ge 1\Leftrightarrow x\in (\left] -1,1-\sqrt{3} \right]\cup \left] 1,1+\sqrt{3} \right])$.
b) $g(x)\ge x$
\[\begin{array}{*{35}{l}}
g(x)\ge x & \Leftrightarrow & \frac{2}{x-1}\ge x \\
{} & \Leftrightarrow & \frac{2-{{x}^{2}}+x}{x-1}\ge 0 \\
{} & \Leftrightarrow & \frac{-{{x}^{2}}+x+2}{x-1}\ge 0 \\
\end{array}\]Cálculos auxiliares:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
-{{x}^{2}}+x+2=0 & \Leftrightarrow & x=\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{-2} \\
{} & \Leftrightarrow & x=\frac{-1\pm 3}{-2} \\
{} & \Leftrightarrow & x=-1\vee x=2 \\
\end{array}\]$x$ $-\infty $ $-1$ $1$ $2$ $+\infty $ $-{{x}^{2}}+x+2$ – 0 + + + 0 – $x-1$ – – – 0 + + + $\frac{-{{x}^{2}}+x+2}{x-1}$ + 0 – n.d. + 0 – Portanto, $g(x)\ge x\Leftrightarrow x\in (\left] -\infty ,-1 \right]\cup \left] 1,2 \right])$.
c) $f(x)<-\frac{1}{2}$
\[\begin{array}{*{35}{l}}
f(x)<-\frac{1}{2} & \Leftrightarrow & \frac{2x+1}{{{x}^{2}}-1}<-\frac{1}{2} \\
{} & \Leftrightarrow & \frac{4x+2+{{x}^{2}}-1}{2({{x}^{2}}-1)}<0 \\
{} & \Leftrightarrow & \frac{{{x}^{2}}+4x+1}{2({{x}^{2}}-1)}<0 \\
\end{array}\]Cálculos auxiliares:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}+4x+1=0 & \Leftrightarrow & x=\frac{-4\pm \sqrt{16-4}}{2} \\
{} & \Leftrightarrow & x=\frac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2} \\
{} & \Leftrightarrow & x=-2-\sqrt{3}\vee x=-2+\sqrt{3} \\
\end{array}\]$x$ $-\infty $ $-2-\sqrt{3}$ $-1$ $-2+\sqrt{3}$ $1$ $+\infty $ ${{x}^{2}}+4x+1$ + 0 – – – 0 + + + $2({{x}^{2}}-1)$ + + + 0 – – – 0 + $\frac{{{x}^{2}}+4x+1}{2({{x}^{2}}-1)}$ + 0 – n.d. + 0 – n.d. + Portanto, $f(x)<-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x\in (\left] -2-\sqrt{3},-1 \right[\cup \left] -2+\sqrt{3},1 \right[)$
d) $f(x)\ge g(x)$
\[\begin{array}{*{35}{l}}
f(x)\ge g(x) & \Leftrightarrow & \frac{2x+1}{{{x}^{2}}-1}\ge \frac{2}{x-1} \\
{} & \Leftrightarrow & \frac{2x+1-2x-2}{{{x}^{2}}-1}\ge 0 \\
{} & \Leftrightarrow & \frac{-1}{{{x}^{2}}-1}\ge 0 \\
{} & \Leftrightarrow & \frac{1}{{{x}^{2}}-1}\le 0 \\
{} & \Leftrightarrow & x\in \left] -1,1 \right[ \\
\end{array}\]
(Dada a dificuldade em resolver graficamente a condição $f(x)\ge g(x)$, optou-se por resolver a condição equivalente $f(x)-g(x)\ge 0$.) - Tem-se sucessivamente:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
g(x)=x & \Leftrightarrow & \frac{2}{x-1}=x \\
{} & \Leftrightarrow & \frac{2-{{x}^{2}}+x}{x-1}=0 \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{l}}
-{{x}^{2}}+x+2=0 & \wedge & x-1\ne 0 \\
\end{array} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{l}}
x=\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{-2} & \wedge & x\ne 1 \\
\end{array} \\
{} & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{l}}
(x=-1\vee x=2) & \wedge & x\ne 1 \\
\end{array} \\
{} & \Leftrightarrow & x=-1\vee x=2 \\
\end{array}\]As coordenadas dos pontos do gráfico de g que têm abcissa igual à ordenada são $(-1,-1)$ e $(2,2)$.
A resolução gráfica pode ser obtida da representação efectuada 2-b).
