Dois vetores
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 177 Ex. 5
Enunciado
Considere os vetores $\vec{u}(2,-1,3)$ e $\vec{v}(-4,2,5)$.
- Os vetores ${\vec{u}}$ e ${\vec{v}}$ são colineares? Porquê?
- Determine os números reais a e b, para que o vetor $\vec{w}(a,-6,b)$ e o vetor ${\vec{v}}$ sejam colineares.
Resolução
- Os vetores ${\vec{u}}$ e ${\vec{v}}$ são colineares se e só se $\exists k\in \mathbb{R}:\vec{u}=k\vec{v}$ (1).
Ora,
$\begin{array}{*{35}{l}} \vec{u}=k\vec{v} & \Leftrightarrow & (2,-1,3)=k(-4,2,5) \\ {} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2=-4k \\ -1=2k \\ 3=5k \\ \end{array} \right. \\ {} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} k=-\frac{1}{2} \\ k=-\frac{1}{2} \\ k=\frac{3}{5} \\ \end{array} \right. \\ {} & \Leftrightarrow & k\in \left\{ {} \right\} \\ \end{array}$
Portanto, os vetores ${\vec{u}}$ e ${\vec{v}}$ não são colineares.ALTERNATIVA:
Para que a condição (1) se verifique é necessário que os vetores possuam as coordenadas diretamente proporcionais. Ora, $\frac{2}{-4}=\frac{-1}{2}\ne \frac{3}{5}$. Logo, os vetores considerados não são colineares. - Ora,
$\begin{array}{*{35}{l}} \vec{w}=k\vec{v} & \Leftrightarrow & (a,-6,b)=k(-4,2,5) \\ {} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a=-4k \\ -6=2k \\ b=5k \\ \end{array} \right. \\ {} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} k=-3 \\ a=12 \\ b=-15 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$Portanto, os vetores considerados são colineares para $a=12\wedge b=-15$.
