Um prisma quadrangular regular

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 187 Ex. 56

by AMMA · Published 14 de Dezembro de 2010 · Updated 21 de Janeiro de 2022

Enunciado

Num referencial o.n. do espaço são dados os pontos A, B, C e H.

Sejam [ABCD] e [EFGH] as bases de um prisma quadrangular regular.

Indique as coordenadas dos pontos E, F e G.
Determine uma equação cartesiana do lugar geométrico dos pontos equidistantes de H e de B.
Calcule a área do triângulo [ADG].
Escreva uma condição que defina o lugar geométrico dos pontos $P\,(x,y,z)$ tal que $\overrightarrow{HP}.\overrightarrow{BP}=0$ e caracterize-o.
Indique dois pontos da recta HB [que não sejam nem H nem B].

Resolução

As coordenadas desses pontos são: $E\,(1,1,1)$, $F\,(2,2,1)$ e $G\,(1,3,1)$.
O lugar geométrico dos pontos equidistantes de H e de B é o plano mediador do segmento [HB].
Portanto, é o lugar geométrico dos pontos $P\,(x,y,z)$ tais que $\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{MP}=0$, sendo $M\,(1,2,\frac{1}{2})$ o ponto médio do segmento [HB].
Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{MP}=0 & \Leftrightarrow & (2,0,-1).(x-1,y-2,z-\frac{1}{2})=0 \\
{} & \Leftrightarrow & 2x-2-z+\frac{1}{2}=0 \\
{} & \Leftrightarrow & 4x-2z-3=0 \\
\end{array}\]
Logo, $4x-2z-3=0$ é uma equação do plano mediador de [HB].
A área do triângulo [ADG] é:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
{{A}_{[ADG]}} & = & \frac{\overline{AD}\times \overline{DG}}{2} \\
{} & = & \frac{\overline{BC}\times \overline{AF}}{2} \\
{} & = & \frac{\sqrt{{{(1-2)}^{2}}+{{(3-2)}^{2}}+0}\times \sqrt{{{(2-1)}^{2}}+{{(2-1)}^{2}}+{{(1-0)}^{2}}}}{2} \\
{} & = & \frac{\sqrt{2}\times \sqrt{3}}{2} \\
{} & = & \frac{\sqrt{6}}{2} \\
\end{array}\]
O lugar geométrico dos pontos $P\,(x,y,z)$ tal que $\overrightarrow{HP}.\overrightarrow{BP}=0$ é a superfície esférica de diâmetro [HB].
O seu centro é $M\,(1,2,\frac{1}{2})$ e o raio é $r=\frac{\left\| \overrightarrow{HB} \right\|}{2}=\frac{\sqrt{{{2}^{2}}+1}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$, pelo que pode ser definida pela equação ${{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-\frac{1}{2})}^{2}}=\frac{5}{4}$.

Equação esta que também se pode obter resolvendo a condição $\overrightarrow{HP}.\overrightarrow{BP}=0$: \[\begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{HP}.\overrightarrow{BP}=0 & \Leftrightarrow & (x,y-2,z-1).(x-2,y-2,z)=0 \\
{} & \Leftrightarrow & {{x}^{2}}-2x+{{(y-2)}^{2}}+{{z}^{2}}-z=0 \\
{} & \Leftrightarrow & {{(x-1)}^{2}}-1+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-\frac{1}{2})}^{2}}-\frac{1}{4}=0 \\
{} & \Leftrightarrow & {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-\frac{1}{2})}^{2}}=\frac{5}{4} \\
\end{array}\]
Por exemplo, os pontos:
$S=B+\overrightarrow{HB}=(2,2,0)+(2,0,-1)=(4,2,-1)$;
$T=B+2\times \overrightarrow{HB}=(2,2,0)+2\times (2,0,-1)=(6,2,-2)$.