Uma circunferência e uma reta que lhe é tangente
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 27
Enunciado
Num referencial o. n. $(O,\vec{i},\vec{j})$, considere a circunferência de equação ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+4y+4=0$.
- Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência.
- Determine uma equação da reta tangente à circunferência no ponto $A(0,-2)$.
Resolução
- Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+4y+4=0 & \Leftrightarrow & {{(x+1)}^{2}}-1+{{(y+2)}^{2}}-4+4=0 \\
{} & \Leftrightarrow & {{(x+1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}=1 \\
\end{array}\]
Logo, a circunferência tem centro $C(-1,-2)$ e raio $r=1$.
- Designado por $T(x,y)$ um ponto genérico dessa tangente, tem-se: $\overrightarrow{AT}.\overrightarrow{CA}=0$. (Porquê?)
Logo, a reta pretendida pode ser definida por: \[\begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{AT}.\overrightarrow{CA}=0 & \Leftrightarrow & (x,y+2).(1,0)=0 \\
{} & \Leftrightarrow & x=0 \\
\end{array}\]
