Considere as funções reais de variável real
Funções com radicais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 206 Ex. 81
Enunciado
Considere as funções reais de variável real assim definidas: \[\begin{matrix}
f:x\to {{(\sqrt{x}+3)}^{2}} & \text{e} & g:x\to {{(\sqrt{x}-3)}^{2}} \\
\end{matrix}\]
- Determine o domínio de f e de g.
- Determine, se existirem, os zeros de f e de g.
- Caracterize as funções $(f+g)$ e $(f\times g)$ e apresente as expressões de $(f+g)(x)$ e $(f\times g)(x)$ na forma mais simplificada possível.
Resolução
- Ora, ${{D}_{f}}={{D}_{g}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:x\ge 0 \right\}=\mathbb{R}_{0}^{+}$.
- Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
f(x)=0 & \Leftrightarrow & {{(\sqrt{x}+3)}^{2}}=0 \\
{} & \Leftrightarrow & \sqrt{x}+3=0 \\
{} & \Leftrightarrow & x\in \left\{ {} \right\} \\
\end{array}\]A função f não tem zeros.
Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
g(x)=0 & \Leftrightarrow & {{(\sqrt{x}-3)}^{2}}=0 \\
{} & \Leftrightarrow & \sqrt{x}-3=0 \\
{} & \Leftrightarrow & x=9 \\
\end{array}\]A função g tem apenas um zero: $x=9$.
- Ora, ${{D}_{f+g}}={{D}_{f}}\cap {{D}_{g}}=\mathbb{R}_{0}^{+}$.
Como
\[\begin{array}{*{35}{l}}
(f+g)(x) & = & f(x)+g(x) \\
{} & = & {{(\sqrt{x}+3)}^{2}}+{{(\sqrt{x}-3)}^{2}} \\
{} & = & {{(\sqrt{x})}^{2}}+6\sqrt{x}+9+{{(\sqrt{x})}^{2}}-6\sqrt{x}+9 \\
{} & = & \left| x \right|+9+\left| x \right|+9 \\
{} & = & 2x+18\,\,(\text{pois }x\in \mathbb{R}_{0}^{+}) \\
\end{array}\]
então,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
f+g: & \mathbb{R}_{0}^{+}\to \mathbb{R} \\
{} & x\to 2x+18 \\
\end{array}\]Ora, ${{D}_{f\times g}}={{D}_{f}}\cap {{D}_{g}}=\mathbb{R}_{0}^{+}$.
Como
\[\begin{array}{*{35}{l}}
(f\times g)(x) & = & f(x)\times g(x) \\
{} & = & {{(\sqrt{x}+3)}^{2}}.{{(\sqrt{x}-3)}^{2}} \\
{} & = & {{\left[ (\sqrt{x}+3).(\sqrt{x}-3) \right]}^{2}} \\
{} & = & {{\left[ {{(\sqrt{x})}^{2}}-9 \right]}^{2}} \\
{} & = & {{x}^{2}}-18\left| x \right|+81 \\
{} & = & {{x}^{2}}-18x+81\,\,(\text{pois }x\in \mathbb{R}_{0}^{+}) \\
\end{array}\]
então
\[\begin{array}{*{35}{l}}
f\times g: & \mathbb{R}_{0}^{+}\to \mathbb{R} \\
{} & x\to {{x}^{2}}-18x+81 \\
\end{array}\]
