Escreva uma equação da circunferência

1. O raio da circunferência é $r=\overline{AB}=\sqrt{{{(-2-2)}^{2}}+{{(3-1)}^{2}}}=2\sqrt{5}$ e o centro é $A(2,1)$.

   Logo, uma equação dessa circunferência é ${{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=20$.
   ­

2. O centro da circunferência é o ponto médio do segmento [AB]: $M(\frac{2-2}{2},\frac{1+3}{2})=(0,2)$.

   O raio da circunferência é $r=\frac{\overline{AB}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{{{(-2-2)}^{2}}+{{(3-1)}^{2}}}=\sqrt{5}$.

   Logo, uma equação dessa circunferência é ${{x}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=5$.

   ALTERNATIVA:
   Designando por $P(x,y)$ um ponto genérico dessa circunferência, tem-se $\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{BP}=0$,  pois os vetores são perpendiculares ou um deles é nulo (ver animação).

   Logo, a circunferência pedida pode ser definida por: \[\begin{array}{*{35}{l}}
   \overrightarrow{AP}.\overrightarrow{BP}=0 & \Leftrightarrow  & (x-2,y-1)(x+2,y-3)=0  \\
   {} & \Leftrightarrow  & ({{x}^{2}}-4)+({{y}^{2}}-4y+3)=0  \\
   {} & \Leftrightarrow  & {{x}^{2}}-4+{{(y-2)}^{2}}-4+3=0  \\
   {} & \Leftrightarrow  & {{x}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=5  \\
   \end{array}\]

­