Tagged: vectores

Um vector perpendicular a outros dois 0

Um vector perpendicular a outros dois

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 34

Enunciado

Num referencial ortonormado do espaço, indique um vector que seja perpendicular a $\vec{u}(1,4,7)$  e a $\vec{v}(2,-1,5)$ .
Observe que qualquer outro vector nas mesmas condições é colinear com ele.

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Determine uma equação cartesiana do plano mediador do segmento [AB] 0

Determine uma equação cartesiana do plano mediador do segmento [AB]

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 31

Enunciado

Determine uma equação cartesiana do plano mediador do segmento [AB], sendo:

  1. $A(4,-1,2)$ e $B(2,7,0)$.
     
  2. $A(-4,1,7)$ e $B(3,2,-5)$.

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  1. var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":283, "height":277, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 | 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2 15 45 ,
Identifique o conjunto de pontos do plano definidos pela condição 0

Identifique o conjunto de pontos do plano definidos pela condição

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 30

Enunciado

Sendo $A(0,9)$ e $B(-8,2)$, identifique o conjunto de pontos $P(x,y)$ do plano que verificam a condição:

  1. $\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{BP}=0$;
     
  2. $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{AM}=0$, sendo M o ponto médio de [AB].

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  1. Tente identificar o lugar geométrico definido pela condição $\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{BP}=0$.
    Caso não consiga, execute a animação sem activar “Mostrar lugar
Equação de uma recta que passa em A e é perpendicular a r 0

Equação de uma recta que passa em A e é perpendicular a r

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 29

Enunciado

Considere, num referencial o. n. $(O,\vec{i},\vec{j})$, a recta r de equação $(x,y)=(3,2)+k(-3,-1),k\in \mathbb{R}$ e o ponto $A(-1,4)$.

  1. Determine a equação reduzida da recta s, perpendicular a r e que passa em A.
     
  2. Desenhe um quadrado de vértice A, com um lado sobre a recta s
Circunferência circunscrita no triângulo [ABC] 1

Circunferência circunscrita no triângulo [ABC]

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 28

Enunciado

Considere o triângulo [ABC], sendo $A(-5,1)$, $B(1,3)$ e $C(3,1)$.

  1. Escreva uma equação cartesiana da mediatriz do lado [AB].
     
  2. Escreva uma equação cartesiana da mediatriz do lado [BC].
     
  3. Determine as coordenadas do ponto de intersecção das medianas determinadas (circuncentro ou centro da circunferência circunscrita no triângulo).
     
  4. Escreva uma
Uma circunferência e uma recta que lhe é tangente 0

Uma circunferência e uma recta que lhe é tangente

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 27

Enunciado

Num referencial o. n. $(O,\vec{i},\vec{j})$, considere a circunferência de equação ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+4y+4=0$.

  1. Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência.
     
  2. Determine uma equação da recta tangente à circunferência no ponto $A(0,-2)$.

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  1. Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+4y+4=0 & \Leftrightarrow  & {{(x+1)}^{2}}-1+{{(y+2)}^{2}}-4+4=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  &
Circunferência circunscrita num triângulo 0

Circunferência circunscrita num triângulo

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 26

Enunciado

Considere um referencial o. n. $(O,\vec{i},\vec{j})$.

Escreva uma equação da circunferência circunscrita ao triângulo, cujos lados estão sobre as rectas de equação $y=0$, $x=0$ e $y=x+4$.

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Equação da recta tangente a uma circunferência 0

Equação da recta tangente a uma circunferência

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 25

Enunciado

  1. Verifique que $A(1,-2)$ é o ponto da circunferência C: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-2y-3=0$ e escreva uma equação da recta tangente a C em A.
     
  2. Determine uma equação da recta tangente à circunferência de centro $D(3,4)$ no ponto $E(1,2)$.

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  1. O ponto A pertence à circunferência C, pois as
Escreva uma equação da circunferência 0

Escreva uma equação da circunferência

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 24

Enunciado

Sendo $A(2,1)$ e $B(-2,3)$, escreva uma equação da circunferência:

  1. de centro A e que passa no ponto B;
     
  2. de diâmetro [AB].

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  1. O raio da circunferência é $r=\overline{AB}=\sqrt{{{(-2-2)}^{2}}+{{(3-1)}^{2}}}=2\sqrt{5}$ e o centro é $A(2,1)$.

    Logo, uma equação dessa circunferência é ${{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=20$.
     
     

  2. O centro da circunferência é
Considere os pontos A, B e C 0

Considere os pontos A, B e C

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 23

Enunciado

Considere os pontos $A(5,1)$, $B(-3,2)$ e $C(3,-2)$.

  1. Escreva uma equação cartesiana da recta que contém a altura do triângulo [ABC] relativa a A.
     
  2. Calcule a área do triângulo [ABC].

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  1. A recta pedida passa em A e é perpendicular à recta BC.

    Como $\overrightarrow{BC}=(6,-4)$, então

Averigúe se são ou não perpendiculares as rectas r e s 0

Averigúe se são ou não perpendiculares as rectas r e s

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 22

Enunciado

Averigúe se são ou não perpendiculares as rectas r e s de equações:

  1. r: $y=2x-3$ e s: $y=-x+\frac{1}{2}$;
     
  2. r: $x=3$ e s: $y=4$;
     
  3. r: $2x+3y-1=0$ e s: $3x-2y+7=0$.

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  1. O declive da recta r é ${{m}_{r}}=2$ e o declive da recta s é ${{m}_{s}}=-1$.
    Logo,
Escreva uma equação da recta… 0

Escreva uma equação da recta…

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 21

Enunciado

Seja $(O,\vec{i},\vec{j})$ um referencial o.n. do plano.

  1. Escreva uma equação da recta que passa no ponto $A(2,3)$ e é perpendicular a $\vec{u}(-1,4)$ .
     
  2. Escreva uma equação da recta que passa em $B(-3,4)$ e é perpendicular à recta de equação $2x-5y+1=0$.
     
  3. Sejam $A(2,1)$ e $B(1,5)$ dois pontos do
Calcule a amplitude do ângulo formado pela diagonal do cubo com qualquer das suas arestas 0

Calcule a amplitude do ângulo formado pela diagonal do cubo com qualquer das suas arestas

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 20

Enunciado

Seja $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ um referencial o. n. do espaço.

  1. Calcule a amplitude do ângulo formado pela diagonal de um cubo com qualquer das suas arestas.
     
  2. O vector ${\vec{u}}$  é tal que $\vec{u}=2\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}$.
    Indique, em radianos, uma medida de $(\vec{u}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\vec{i})$, de $(\vec{u}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\vec{j})$ e de $(\vec{u}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\vec{k})$.

Resolução

Determine o ângulo que a recta r faz com a recta s 0

Determine o ângulo que a recta r faz com a recta s

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 19

Enunciado

Seja $(O,\vec{i},\vec{j})$ um referencial o. n. do plano.

Determine o ângulo que a recta r faz com a recta s:

  1. r: $(x,y)=(1,3)+k.(-2,-2)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$ e s: $3y-x-2=0$;
     
  2. r: $x+2y+5=0$ e s: $y=\frac{3}{4}x-3$.

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  1. A equação reduzida da recta s é $y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$ , pelo que o seu
Averigúe se o triângulo [ABC] é triângulo rectângulo 0

Averigúe se o triângulo [ABC] é triângulo rectângulo

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 18

Enunciado

Averigúe se o triângulo [ABC] é triângulo rectângulo e isósceles, sendo:

  1. $A(1,1,\sqrt{2})$, $B(\sqrt{2},-\sqrt{2},0)$ e C o simétrico de A em relação a O, origem do referencial;
     
  2. $A(2,1,-3)$, $B(-1,3,4)$ e $C(-3,0,2)$.

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  1. Ora, $C(-1,-1,-\sqrt{2})$.

    Como

    $\left\| \overrightarrow{AB} \right\|=\sqrt{{{(\sqrt{2}-1)}^{2}}+{{(-\sqrt{2}-1)}^{2}}+{{(-\sqrt{2})}^{2}}}=\sqrt{{{(-1-\sqrt{2})}^{2}}+{{(-1+\sqrt{2})}^{2}}+{{(-\sqrt{2})}^{2}}}=\left\| \overrightarrow{BC} \right\|$,
    então $\overline{AB}=\overline{BC}$.

    Como
    $\begin{array}{*{35}{l}}
       \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} &

Averigúe se os vectores são perpendiculares 0

Averigúe se os vectores são perpendiculares

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 17

Enunciado

Averigúe se os vectores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ são perpendiculares:

  1. $\vec{u}(1,-3,2)$  e $\vec{v}(2,4,5)$
     
  2. $\vec{u}(\sqrt{3}-1,4,-1)$  e $\vec{v}(\sqrt{3}+1,1,6)$
     
  3. $\vec{u}(\frac{2}{3},-\frac{3}{2},\frac{5}{7})$  e $\vec{v}(-\frac{3}{2},\frac{2}{3},\frac{7}{5})$
     
  4. $\vec{u}(-5,\alpha ,3)$  e  $\vec{v}(2\alpha ,10,0)$

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  1. Ora, $\vec{u}.\vec{v}=(1,-3,2).(2,4,5)=1\times 2-3\times 4+2\times 5=0$.
    Logo os vectores são perpendiculares.
     
  2. Ora, $\vec{u}.\vec{v}=(\sqrt{3}-1,4,-1).(\sqrt{3}+1,1,6)=(\sqrt{3}-1)\times (\sqrt{3}+1)+4\times 1-1\times 6=3-1+4-6=0$:
    Logo os vectores são perpendiculares.
     
  3. Ora,
Calcule, aplicando as propriedades do produto escalar 0

Calcule, aplicando as propriedades do produto escalar

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 16

Enunciado

Supondo que $\overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{w}$ e $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=2\sqrt{5}$, calcule, aplicando as propriedades do produto escalar:

  1. $(2\vec{u}).(3\vec{v})$
     
  2. $\vec{u}.(4\vec{v}-2\vec{w})$

Resolução >> Resolução

  1. $(2\vec{u}).(3\vec{v})=6.(\vec{u}.\vec{v})=6\times 2\sqrt{5}=12\sqrt{5}$
     
  2. $\vec{u}.(4\vec{v}-2\vec{w})=4.(\vec{u}.\vec{v})-2.(\vec{u}.\vec{w})=4\times 2\sqrt{5}-2\times 0=8\sqrt{5}$

 

<< Enunciado
Determine a amplitude do ângulo dos dois vectores 0

Determine a amplitude do ângulo dos dois vectores

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 179 Ex. 15

Enunciado

Determine (se necessário apresente o resultado aproximado às décimas) a amplitude do ângulo de $\overrightarrow{u}$ com $\overrightarrow{v}$, sabendo que:

  1. $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=50\sqrt{2}$ e $\left\| \overrightarrow{u} \right\|=\left\| \overrightarrow{v} \right\|=10$
     
  2. $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-10\sqrt{3}$ e $\left\| \overrightarrow{u} \right\|=4$ e $\left\| \overrightarrow{v} \right\|=5$
     
  3. $\overrightarrow{u}(1,2,3)$ e $\overrightarrow{v}(-1,1,-1)$
     
  4. $\overrightarrow{u}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},1)$ e $\overrightarrow{v}(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0)$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       \cos (\widehat{\vec{u}\,\vec{v}})
Outros dois vectores 0

Outros dois vectores

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 13

Enunciado

Sendo $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ dois vectores, tais que $\left\| \overrightarrow{u} \right\|=2$, $\left\| \overrightarrow{v} \right\|=3$ e $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=4$, calcule:

  1. $(2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})$
     
  2. ${{(2\overrightarrow{u}+5\overrightarrow{v})}^{2}}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $\begin{array}{*{35}{l}}
       (2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) & = & 2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v}.\overrightarrow{v}  \\
       {} & = & 2\times 2\times 2\times 1+2\times 4-4-3\times 3\times 1  \\
       {} & = & 8+8-4-9  \\
0

[ABCDE] é um pentágono regular

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 12

Enunciado

[ABCDE] é um pentágono regulat de lado l, inscrito na circunfereência de centro O e raio r.

  1. Calcule em função de r, com aproximação às centésimas:

    $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OE}$ e $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}$.
     

  2. Determine, em função de l, com aproximação às centésimas:

    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{ED}$, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$ e