Tagged: vectores

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Num referencial ortonormado do espaço, indique um vector que seja perpendicular a $\vec{u}(1,4,7)$  e a $\vec{v}(2,-1,5)$ .
Observe que qualquer outro vector nas mesmas condições é colinear com ele.

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Determine uma equação cartesiana do plano mediador do segmento [AB], sendo:

1. $A(4,-1,2)$ e $B(2,7,0)$.
    
2. $A(-4,1,7)$ e $B(3,2,-5)$.

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Sendo $A(0,9)$ e $B(-8,2)$, identifique o conjunto de pontos $P(x,y)$ do plano que verificam a condição:

1. $\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{BP}=0$;
    
2. $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{AM}=0$, sendo M o ponto médio de [AB].

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1. Tente identificar o lugar geométrico definido pela condição $\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{BP}=0$.
   Caso não consiga, execute a animação sem activar “Mostrar lugar

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• E se…

Considere, num referencial o. n. $(O,\vec{i},\vec{j})$, a recta r de equação $(x,y)=(3,2)+k(-3,-1),k\in \mathbb{R}$ e o ponto $A(-1,4)$.

1. Determine a equação reduzida da recta s, perpendicular a r e que passa em A.
    
2. Desenhe um quadrado de vértice A, com um lado sobre a recta s

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Considere o triângulo [ABC], sendo $A(-5,1)$, $B(1,3)$ e $C(3,1)$.

1. Escreva uma equação cartesiana da mediatriz do lado [AB].
    
2. Escreva uma equação cartesiana da mediatriz do lado [BC].
    
3. Determine as coordenadas do ponto de intersecção das medianas determinadas (circuncentro ou centro da circunferência circunscrita no triângulo).
    
4. Escreva uma

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Num referencial o. n. $(O,\vec{i},\vec{j})$, considere a circunferência de equação ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+4y+4=0$.

1. Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência.
    
2. Determine uma equação da recta tangente à circunferência no ponto $A(0,-2)$.

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1. Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
      {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+4y+4=0 & \Leftrightarrow  & {{(x+1)}^{2}}-1+{{(y+2)}^{2}}-4+4=0  \\
      {} & \Leftrightarrow  &

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Considere um referencial o. n. $(O,\vec{i},\vec{j})$.

Escreva uma equação da circunferência circunscrita ao triângulo, cujos lados estão sobre as rectas de equação $y=0$, $x=0$ e $y=x+4$.

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1. Verifique que $A(1,-2)$ é o ponto da circunferência C: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-2y-3=0$ e escreva uma equação da recta tangente a C em A.
    
2. Determine uma equação da recta tangente à circunferência de centro $D(3,4)$ no ponto $E(1,2)$.

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1. O ponto A pertence à circunferência C, pois as

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Sendo $A(2,1)$ e $B(-2,3)$, escreva uma equação da circunferência:

1. de centro A e que passa no ponto B;
    
2. de diâmetro [AB].

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1. O raio da circunferência é $r=\overline{AB}=\sqrt{{{(-2-2)}^{2}}+{{(3-1)}^{2}}}=2\sqrt{5}$ e o centro é $A(2,1)$.

   Logo, uma equação dessa circunferência é ${{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=20$.
    
    

2. O centro da circunferência é

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Considere os pontos $A(5,1)$, $B(-3,2)$ e $C(3,-2)$.

1. Escreva uma equação cartesiana da recta que contém a altura do triângulo [ABC] relativa a A.
    
2. Calcule a área do triângulo [ABC].

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1. A recta pedida passa em A e é perpendicular à recta BC.

   Como $\overrightarrow{BC}=(6,-4)$, então

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Averigúe se são ou não perpendiculares as rectas r e s de equações:

1. r: $y=2x-3$ e s: $y=-x+\frac{1}{2}$;
    
2. r: $x=3$ e s: $y=4$;
    
3. r: $2x+3y-1=0$ e s: $3x-2y+7=0$.

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1. O declive da recta r é ${{m}_{r}}=2$ e o declive da recta s é ${{m}_{s}}=-1$.
   Logo,

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Seja $(O,\vec{i},\vec{j})$ um referencial o.n. do plano.

1. Escreva uma equação da recta que passa no ponto $A(2,3)$ e é perpendicular a $\vec{u}(-1,4)$ .
    
2. Escreva uma equação da recta que passa em $B(-3,4)$ e é perpendicular à recta de equação $2x-5y+1=0$.
    
3. Sejam $A(2,1)$ e $B(1,5)$ dois pontos do

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Seja $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ um referencial o. n. do espaço.

1. Calcule a amplitude do ângulo formado pela diagonal de um cubo com qualquer das suas arestas.
    
2. O vector ${\vec{u}}$  é tal que $\vec{u}=2\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}$.
   Indique, em radianos, uma medida de $(\vec{u}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\vec{i})$, de $(\vec{u}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\vec{j})$ e de $(\vec{u}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\vec{k})$.

Resolução …

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Seja $(O,\vec{i},\vec{j})$ um referencial o. n. do plano.

Determine o ângulo que a recta r faz com a recta s:

1. r: $(x,y)=(1,3)+k.(-2,-2)\,,\,\,k\in \mathbb{R}$ e s: $3y-x-2=0$;
    
2. r: $x+2y+5=0$ e s: $y=\frac{3}{4}x-3$.

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1. A equação reduzida da recta s é $y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$ , pelo que o seu

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Averigúe se o triângulo [ABC] é triângulo rectângulo e isósceles, sendo:

1. $A(1,1,\sqrt{2})$, $B(\sqrt{2},-\sqrt{2},0)$ e C o simétrico de A em relação a O, origem do referencial;
    
2. $A(2,1,-3)$, $B(-1,3,4)$ e $C(-3,0,2)$.

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1. Ora, $C(-1,-1,-\sqrt{2})$.

   Como

   $\left\| \overrightarrow{AB} \right\|=\sqrt{{{(\sqrt{2}-1)}^{2}}+{{(-\sqrt{2}-1)}^{2}}+{{(-\sqrt{2})}^{2}}}=\sqrt{{{(-1-\sqrt{2})}^{2}}+{{(-1+\sqrt{2})}^{2}}+{{(-\sqrt{2})}^{2}}}=\left\| \overrightarrow{BC} \right\|$,
   então $\overline{AB}=\overline{BC}$.

   Como
   $\begin{array}{*{35}{l}}
      \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} &

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Averigúe se os vectores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ são perpendiculares:

1. $\vec{u}(1,-3,2)$  e $\vec{v}(2,4,5)$
    
2. $\vec{u}(\sqrt{3}-1,4,-1)$  e $\vec{v}(\sqrt{3}+1,1,6)$
    
3. $\vec{u}(\frac{2}{3},-\frac{3}{2},\frac{5}{7})$  e $\vec{v}(-\frac{3}{2},\frac{2}{3},\frac{7}{5})$
    
4. $\vec{u}(-5,\alpha ,3)$  e  $\vec{v}(2\alpha ,10,0)$

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1. Ora, $\vec{u}.\vec{v}=(1,-3,2).(2,4,5)=1\times 2-3\times 4+2\times 5=0$.
   Logo os vectores são perpendiculares.
    
2. Ora, $\vec{u}.\vec{v}=(\sqrt{3}-1,4,-1).(\sqrt{3}+1,1,6)=(\sqrt{3}-1)\times (\sqrt{3}+1)+4\times 1-1\times 6=3-1+4-6=0$:
   Logo os vectores são perpendiculares.
    
3. Ora,

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Supondo que $\overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{w}$ e $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=2\sqrt{5}$, calcule, aplicando as propriedades do produto escalar:

1. $(2\vec{u}).(3\vec{v})$
    
2. $\vec{u}.(4\vec{v}-2\vec{w})$

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1. $(2\vec{u}).(3\vec{v})=6.(\vec{u}.\vec{v})=6\times 2\sqrt{5}=12\sqrt{5}$
    
2. $\vec{u}.(4\vec{v}-2\vec{w})=4.(\vec{u}.\vec{v})-2.(\vec{u}.\vec{w})=4\times 2\sqrt{5}-2\times 0=8\sqrt{5}$

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Determine (se necessário apresente o resultado aproximado às décimas) a amplitude do ângulo de $\overrightarrow{u}$ com $\overrightarrow{v}$, sabendo que:

1. $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=50\sqrt{2}$ e $\left\| \overrightarrow{u} \right\|=\left\| \overrightarrow{v} \right\|=10$
    
2. $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-10\sqrt{3}$ e $\left\| \overrightarrow{u} \right\|=4$ e $\left\| \overrightarrow{v} \right\|=5$
    
3. $\overrightarrow{u}(1,2,3)$ e $\overrightarrow{v}(-1,1,-1)$
    
4. $\overrightarrow{u}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},1)$ e $\overrightarrow{v}(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0)$

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1.  
   \[\begin{array}{*{35}{l}}
      \cos (\widehat{\vec{u}\,\vec{v}})

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Sendo $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ dois vectores, tais que $\left\| \overrightarrow{u} \right\|=2$, $\left\| \overrightarrow{v} \right\|=3$ e $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=4$, calcule:

1. $(2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})$
    
2. ${{(2\overrightarrow{u}+5\overrightarrow{v})}^{2}}$

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1.  
   $\begin{array}{*{35}{l}}
      (2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) & = & 2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}-\overrightarrow{v}.\overrightarrow{v}  \\
      {} & = & 2\times 2\times 2\times 1+2\times 4-4-3\times 3\times 1  \\
      {} & = & 8+8-4-9  \\