Considere os pontos A, B e C

1. A reta pedida passa em A e é perpendicular à reta BC.

   Como $\overrightarrow{BC}=(6,-4)$, então $\overrightarrow{r}=(2,3)$ é um vetor diretor da reta pedida.

   Assim, o declive da reta pedida é $m=\frac{3}{2}$, pelo que a sua equação reduzida é da forma $y=\frac{3}{2}x+b$.

   Dado que o ponto A pertence a esta reta, temos $1=\frac{3}{2}\times 5+b\Leftrightarrow b=-\frac{13}{2}$.

   Logo, a equação reduzida da reta pedida é $y=\frac{3}{2}x-\frac{13}{2}$.

   ALTERNATIVA:
   Designando por $P(x,y)$ um ponto genérico da reta pedida, os vectores $\overrightarrow{AP}=(x-5,y-1)$ e $\overrightarrow{BC}=(6,-4)$ terão de ser perpendiculares (ver animação, abaixo).

   Logo, a reta pedida pode ser definida por: \[\begin{array}{*{35}{l}}
   \overrightarrow{AP}.\overrightarrow{BC}=0 & \Leftrightarrow  & (x-5,y-1).(6,-4)=0  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 6x-30-4y+4=0  \\
   {} & \Leftrightarrow  & 3x-2y-13=0  \\
   {} & \Leftrightarrow  & y=\frac{3}{2}x-\frac{13}{2}  \\
   \end{array}\]
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2. Para determinarmos a altura do triângulo relativamente ao lado [BC] necessitamos de determinar a projeção do ponto A sobre a reta BC, ponto A’.

   Ora, o declive da reta BC é ${{m}_{BC}}=\frac{-2-2}{3-(-3)}=-\frac{2}{3}$, que é simétrico e inverso do declive da reta pedida na alínea anterior, portanto estas retas são perpendiculares.

   Logo, a projeção do ponto A sobre a recta BC é um dos pontos B ou C.

   Dado que apenas as coordenadas do ponto C verificam a equação da recta pedida na alínea anterior, então o ponto procurado é C, isto é, o triangulo [ABC] é retângulo em C.

   Logo, \[\begin{array}{*{35}{l}}
   {{A}_{[ABC]}} & = & \frac{\overline{BC}\times \overline{AC}}{2}  \\
   {} & = & \frac{\sqrt{{{(3+3)}^{2}}+{{(-2-2)}^{2}}}\times \sqrt{{{(3-5)}^{2}}+{{(-2-1)}^{2}}}}{2}  \\
   {} & = & \frac{\sqrt{52}\times \sqrt{13}}{2}  \\
   {} & = & \frac{2\sqrt{13}\times \sqrt{13}}{2}  \\
   {} & = & 13  \\
   \end{array}\]

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