Equação da reta tangente a uma circunferência
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 25
- Verifique que $A(1,-2)$ é o ponto da circunferência C: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-2y-3=0$ e escreva uma equação da reta tangente a C em A.
- Determine uma equação da reta tangente à circunferência de centro $D(3,4)$ no ponto $E(1,2)$.
- O ponto A pertence à circunferência C, pois as suas coordenadas verificam a sua equação: ${{1}^{2}}+{{(-2)}^{2}}-6\times 1-2\times (-2)-3=0\Leftrightarrow 1+4-6+4-3=0\Leftrightarrow 0=0$.
A reta pedida é perpendicular à reta QA e passa por A, sendo Q o centro da circunferência.
Como ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-2y-3=0\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}-9+{{(y-1)}^{2}}-1-3=0\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}-9+{{(y-1)}^{2}}=13$, então a circunferência tem centro em $Q(3,1)$.
Ora, a reta QA tem declive ${{m}_{QA}}=\frac{1+2}{3-1}=\frac{3}{2}$, logo a reta pedida tem declive ${{m}_{t}}=-\frac{1}{{{m}_{QA}}}=-\frac{2}{3}$, sendo a sua equação reduzida da forma $y=-\frac{2}{3}x+b$.
Como o ponto A pertence a esta reta, temos $-2=-\frac{2}{3}\times 1+b\Leftrightarrow b=-\frac{4}{3}$.
Portanto, a equação reduzida da reta pedida é $y=-\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}$.
ALTERNATIVA: Use o método descrito em 2.
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Seja $P(x,y)$ um ponto genérico da reta pedida.
Como a reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência, tem-se $\overrightarrow{EP}.\overrightarrow{DE}=0$ (ver animação).
Logo, uma condição que define a recta pedida é: \[\begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{EP}.\overrightarrow{DE}=0 & \Leftrightarrow & (x-1,y-2).(-2,-2)=0 \\
{} & \Leftrightarrow & -2x+2-2y+4=0 \\
{} & \Leftrightarrow & y=-x+3 \\
\end{array}\]ALTERNATIVA: Use o método descrito em 1.
