[ABCDE] é um pentágono regular
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 178 Ex. 12
[ABCDE] é um pentágono regular de lado l, inscrito na circunferência de centro O e raio r.
- Calcule em função de r, com aproximação às centésimas:
$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OE}$ e $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}$.
- Determine, em função de l, com aproximação às centésimas:
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{ED}$, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$ e $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.
A circunferência foi dividida em cinco arcos geometricamente iguais, de amplitude $\frac{360{}^\text{o}}{5}=72{}^\text{o}$.
$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\left\| \overrightarrow{OA} \right\|.\left\| \overrightarrow{OB} \right\|.\cos (\widehat{\overrightarrow{OA}\,\overrightarrow{OB}})=r\times r\times \cos 72{}^\text{o}\simeq 0,31\times {{r}^{2}}$
$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OE}=\left\| \overrightarrow{OA} \right\|.\left\| \overrightarrow{OE} \right\|.\cos (\widehat{\overrightarrow{OA}\,\overrightarrow{OE}})=r\times r\times \cos 72{}^\text{o}\simeq 0,31\times {{r}^{2}}$
$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}=\left\| \overrightarrow{OA} \right\|.\left\| \overrightarrow{OC} \right\|.\cos (\widehat{\overrightarrow{OA}\,\overrightarrow{OC}})=r\times r\times \cos 144{}^\text{o}\simeq -0,81\times {{r}^{2}}$
-
A amplitude do ângulo interno do pentágono regular é $\frac{3\times 72{}^\text{o}}{2}=108{}^\text{o}$.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}=\left\| \overrightarrow{AB} \right\|.\left\| \overrightarrow{AE} \right\|.\cos (\widehat{\overrightarrow{AB}\,\overrightarrow{AE}})=l\times l\times \cos 108{}^\text{o}\simeq -0,31\times {{l}^{2}}$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{ED}=\left\| \overrightarrow{AB} \right\|.\left\| \overrightarrow{ED} \right\|.\cos (\widehat{\overrightarrow{AB}\,\overrightarrow{ED}})=l\times l\times \cos 36{}^\text{o}\simeq 0,81\times {{l}^{2}}$
(As semi-rectas $\dot{B}A$ e $\dot{D}E$ intersectam-se no ponto P, sendo $A\hat{P}E=36{}^\text{o}$ (Porquê?))$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\left\| \overrightarrow{AB} \right\|.\left\| \overrightarrow{AD} \right\|.\cos (\widehat{\overrightarrow{AB}\,\overrightarrow{AD}})=l\times l\times \cos 72{}^\text{o}\simeq 0,31\times {{l}^{2}}$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left\| \overrightarrow{AB} \right\|.\left\| \overrightarrow{AC} \right\|.\cos (\widehat{\overrightarrow{AB}\,\overrightarrow{AC}})=l\times l\times \cos 36{}^\text{o}\simeq 0,81\times {{l}^{2}}$
