Dois triângulos
Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 93 Ex. 3
Na figura, tem-se:
- o ângulo de vértice C e o ângulo CDB são geometricamente iguais;
- $\widehat{A}=40{}^\text{o}$;
- $A\widehat{D}B=110{}^\text{o}$.
- Determina $B\widehat{D}C$ e $D\widehat{B}A$.
- Mostra que os triângulos [ABC] e [BCD] são isósceles e indica os lados iguais em cada um. Justifica convenientemente a resposta.
- Tendo em consideração que os ângulos ADB e BDC são suplementares, temos: \[\begin{array}{*{35}{l}}
B\widehat{D}C & = & 180{}^\text{o}-A\widehat{D}B \\
{} & = & 180{}^\text{o}-110{}^\text{o} \\
{} & = & 70{}^\text{o} \\
\end{array}\]Como sabemos, a soma dos três ângulos internos de um triângulo é um ângulo raso.
Relativamente ao triângulo [ABD], vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
D\widehat{B}A & = & 180{}^\text{o}-(B\widehat{A}D+A\widehat{D}B) \\
{} & = & 180{}^\text{o}-(40{}^\text{o}+110{}^\text{o}) \\
{} & = & 180{}^\text{o}-150{}^\text{o} \\
{} & = & 30{}^\text{o} \\
\end{array}\]
- Comecemos pelo triângulo [BCD].
Ora, num triângulo, a ângulos geometricamente iguais opõem-se lados geometricamente iguais.
Como os ângulos BDC e BCD são geometricamente iguais (dado), então os lados do triângulo [ACD] opostos a estes ângulos, respetivamente, [BC] e [BD], são geometricamente iguais. Assim sendo, o triângulo [BCD] é isósceles, pois possui dois lados geometricamente iguais.Comecemos por determinar a amplitude do ângulo DBC: \[\begin{array}{*{35}{l}}
D\widehat{B}C & = & 180{}^\text{o}-(B\widehat{D}C+B\widehat{C}D) \\
{} & = & 180{}^\text{o}-(70{}^\text{o}+70{}^\text{o}) \\
{} & = & 180{}^\text{o}-140{}^\text{o} \\
{} & = & 40{}^\text{o} \\
\end{array}\]
Ora, $A\widehat{B}C=A\widehat{B}D+D\widehat{B}C=30{}^\text{o}+40{}^\text{o}=70{}^\text{o}$.Então, o triângulo [ABC] possui dois ângulos geometricamente iguais: os ângulos ABC e ACB (ambos com 70º de amplitude).
Assim, o triângulo [ABC] possui dois lados geometricamente iguais, os lados [AB] e [AC], pois, num triângulo, a ângulos geometricamente iguais opõem-se lados geometricamente iguais. Desta forma, o triângulo [ABC] é isósceles, pois possui dois lados geometricamente iguais.
