A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Tagged: ângulos

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8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

[PQRS] é um paralelogramo

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 111 Ex. 6

Enunciado

[PQRS] é um paralelogramo.

  1. Quantos triângulos estão representados na figura?
     
  2. Calcula:   
  • $P\hat{Q}R$
     
  • $S\hat{T}R$
     
  • $P\hat{S}R$
     
  • $Q\hat{T}R$

Resolução >> Resolução

  1. Na figura estão representados 8 triângulos: [PQT], [QTR], [RTS], [STP], [PQR], [RPS], [RSQ] e [PQS].
     
  2. (Vai anotando na figura as amplitudes calculadas)
  • $P\hat{Q}R=180{}^\text{o}-(Q\hat{P}R+Q\hat{R}P)=180{}^\text{o}-(18{}^\text{o}+30{}^\text{o})=132{}^\text{o}$, pois a soma das amplitudes dos
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Constrói um paralelogramo [MNPQ] 0

8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

Constrói um paralelogramo [MNPQ]

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 111 Ex. 2

Enunciado

Constrói um paralelogramo [MNPQ], sabendo que $\overline{MN}=10\,cm$, $\overline{MQ}=5,4\,cm$ e $\hat{M}=60{}^\text{o}$.

A seguir, traça as suas diagonais e designa por O o seu ponto de intersecção.

Determina:

  1. a amplitude do ângulo interno P;
  2. a amplitude do ângulo interno Q;
  3. o perímetro do paralelogramo.

Resolução >> Resolução

Reproduz a …

Constrói um paralelogramo [MATE] 0

8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

Constrói um paralelogramo [MATE]

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 110 Ex. 8

Enunciado

Constrói um paralelogramo [MATE], tal que $\overline{MA}=5\,cm$, $\overline{AT}=2,5\,cm$ e $\hat{A}=55{}^\text{o}$.

Resolução >> Resolução

Reproduz a construção:

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":834, "height":362, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 | 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2 15 45 , 18 65 , 7 …

Constrói um paralelogramo [DOCE] 2

8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

Constrói um paralelogramo [DOCE]

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 110 Ex. 7

Enunciado

Constrói um paralelogramo [DOCE], tal que $\overline{DO}=4\,cm$, $\overline{CO}=3\,cm$ e $\overline{DC}=6\,cm$.

Resolução >> Resolução

Reproduz a construção:

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":905, "height":449, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 | 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2 15 45 , 18 65 , 7 …

Soma dos ângulos de um quadrilátero 0

8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

Soma dos ângulos de um quadrilátero

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 110 Ex. 3

Enunciado

Prova que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º.

Resolução >> Resolução

Consideremos o quadrilátero [ABCD]:

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":740, "height":398, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 | 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2 15 45 …

A medida da amplitude do ângulo externo 0

8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

A medida da amplitude do ângulo externo

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 103 Ex. 6

Enunciado

A medida da amplitude do ângulo externo em B, no triângulo [ABC], é 100º.

Sabendo que $\hat{B}=\hat{C}$:

  1. determina a medida da amplitude de cada um dos ângulos internos do triângulo;
  2. indica qual o lado de maior comprimento do triângulo e o de menor comprimento. Justifica.

Resolução >>…

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8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

Sabendo que…

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 103 Ex. 5

Enunciado

Sabendo que $\hat{B}=62{}^\text{o}$, $\overline{AB}=\overline{BC}$ e $\overline{CD}=\overline{CE}$ , calcula $C\hat{D}E$.

 

Resolução >> Resolução

Como sabemos, num triângulo, a lados geometricamente iguais, opõem-se ângulos geometricamente iguais.

Logo, no triângulo [ABC], são geometricamente iguais os ângulos BAC e BCA, pois opõem-se a lados geometricamente iguais.

Por outro lado, sabemos …

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8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

Observa a figura

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 103 Ex. 4

Enunciado

Observa a figura onde [MN] é paralelo a [BC].

Calcula:

  1. $M\hat{A}N$
  2. $A\hat{B}D$

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  1. O ângulo MNA é suplementar do ângulo assinalado com 142º de amplitude, pois são ângulos de lados paralelos, sendo um agudo e outro obtuso. Assim, $M\hat{N}A=180{}^\text{o}-142{}^\text{o}=38{}^\text{o}$.
     
    Como a soma das amplitudes dos
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8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

Calcula o valor de x em cada figura

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 103 Ex. 2

Enunciado

Calcula o valor de x em cada figura, considerando r//s.

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FIGURA a)

Os ângulos considerados são geometricamente iguais, pois são ambos agudos e de lados paralelos.
Logo, temos:

$\begin{array}{*{35}{l}}
   2x-95=25 & \Leftrightarrow  & 2x=120  \\
   {} & \Leftrightarrow  & x=60  \\
\end{array}$

Portanto, $x=60{}^\text{o}$.…

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8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

Um triângulo isósceles

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 102 Ex. 3

Enunciado

No triângulo isósceles [MAR], $\overline{RA}=\overline{MA}$ e $\hat{A}=50{}^\text{o}$.

Determina ${\hat{R}}$ e ${\hat{M}}$.

Resolução >> Resolução

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é um ângulo raso, vem: $\hat{M}+\hat{R}=180{}^\text{o}-\hat{A}=180{}^\text{o}-50{}^\text{o}=130{}^\text{o}$.

Num triângulo, a lados geometricamente iguais opõem-se ângulos geometricamente iguais. Ora, como $\overline{RA}=\overline{MA}$, então $\hat{M}=\hat{R}$.

Assim, $\hat{M}=\hat{R}=\frac{130{}^\text{o}}{2}=65{}^\text{o}$.

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8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

Um triângulo rectângulo

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 102 Ex. 2

Enunciado

O triângulo [ABC] é rectângulo em A;
[AH] é perpendicular a [BC] e o ângulo externo em C mede 130º.

Calcula a medida da amplitude dos ângulos x, y e z.

Resolução >> Resolução

Como a amplitude de um ângulo externo de um triângulo é igual à …

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8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

Ângulos internos e externos de um triângulo

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 102 Ex. 1

Enunciado

Utilizando os dados da figura, calcula:

  1. A medida de cada um dos ângulos internos do triângulo [MNP];
     
  2. A soma dos ângulos externos do triângulo.

Resolução >> Resolução

  1. Considerando que os ângulos seguintes são suplementares, temos:
    \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {\hat{P}} & = & 180{}^\text{o}-N\hat{P}Q  \\
       {} & = & 180{}^\text{o}-145{}^\text{o} 
…
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8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

Duas paralelas e uma secante

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 99 Ex. 2

Enunciado

Na figura, as rectas r e r’ são paralelas e intersectadas pela recta t.

Calcula as amplitudes dos ângulos indicados na figura.

Resolução >> Resolução

Como os ângulos são suplementares, então $\hat{g}=180{}^\text{o}-112{}^\text{o}=68{}^\text{o}$.
 
Como os ângulos são verticalmente opostos, então $\hat{e}=112{}^\text{o}$.
 
Como os ângulos são verticalmente opostos, então …

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8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

Alguns ângulos

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 99 Ex. 1

Enunciado

Determina, sem utilizar transferidor, a amplitude dos ângulos indicados nas figuras seguintes:

Resolução >> Resolução

  1. Tendo em consideração que os ângulos considerados são suplementares, será $\hat{y}=180{}^\text{o}-121{}^\text{o}=59{}^\text{o}$.
    Tendo em consideração que os ângulos considerados são complementares, será $\hat{x}=90{}^\text{o}-\hat{y}=90{}^\text{o}-59{}^\text{o}=31{}^\text{o}$.
     
  2. Como os ângulos são verticalmente opostos, então $\hat{x}=43{}^\text{o}$.
    Como os
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Mais dois triângulos 0

8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

Mais dois triângulos

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 95 Ex. 11

Enunciado

Considera dois triângulos [TRI] e [ANG], rectângulos em T e A, respectivamente.

  1. Sabendo apenas que $\overline{AN}=\overline{TR}$ e que $\widehat{I}=\widehat{G}$, podemos afirmar que os triângulos são iguais?
     
  2. E sabendo que $\overline{AN}=\overline{TR}$ e $\overline{TI}=\overline{AG}$ ? Porquê?
     
  3. E sabendo apenas que $\widehat{I}=\widehat{G}$?

Resolução >> Resolução

var parameters = { "id": …

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8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

Comprimento dos lados do triângulo

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 95 Ex. 9

Enunciado

Coloca por ordem decrescente as medidas dos comprimentos dos lados do triângulo [XYZ].

Resolução >> Resolução

Começando por determinar a amplitude dos ângulos internos do triângulo, temos (Porquê?): \[\begin{array}{*{35}{l}}
   X\widehat{Y}Z & = & 180{}^\text{o}-110{}^\text{o}  \\
   {} & = & 70{}^\text{o}  \\
\end{array}\]
e (Porquê?) \[\begin{array}{*{35}{l}}
   X\widehat{Z}Y & …

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8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

Eixo de simetria do triângulo

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 95 Ex. 7

Enunciado

Observando a figura e sabendo que CM é eixo de simetria do triângulo [ABC], determina as amplitudes dos ângulos e as medidas dos comprimentos dos lados do triângulo.

 

Resolução >> Resolução

Sendo a recta CM um eixo de simetria do triângulo [ABC], então:

  • $\widehat{B}=\widehat{A}=30{}^\text{o}$
     
  • $\overline{BC}=\overline{AC}=4\,cm$
     
  • $\overline{BM}=\overline{AM}=3,4\,cm$
     

Determinando …

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8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

Constrói outro triângulo

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 94 Ex. 6

Enunciado

Copia a figura e constrói o triângulo [PQR], tal que RM seja eixo de simetria.

Resolução >> Resolução

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":956, "height":483, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 | 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2 15 45 , 18 65 …

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8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

Três pares de triângulos

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 94 Ex. 3

Enunciado

Prova que os seguintes pares de triângulos são geometricamente iguais.

Resolução >> Resolução

  1. Ambos os triângulos possuem:
    – um lado com 9 unidades de comprimento;
    – um lado com 6 unidades de comprimento;
    – um ângulo interno com 69º de amplitude, formado pelos lados acima referidos.

    Portanto,

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Constrói o triângulo 0

8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

Constrói o triângulo

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 94 Ex. 1

Enunciado

Considera o triângulo [ABC] em que:

  • $\overline{AB}=4\,cm$
  • $\widehat{A}=32{}^\text{o}$
  • $\widehat{B}=128{}^\text{o}$
  1. Constrói o triângulo.
     
  2. Classifica-o quanto aos lados e quanto aos ângulos.

Resolução >> Resolução

  1. var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":615, "height":344, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 | 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2
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8.º Ano / Aplicando / Do espaço ao plano

Dois triângulos

Do espaço ao plano: Matematicamente Falando 7 - Parte 2 Pág. 93 Ex. 3

Enunciado

Na figura, tem-se:

  • o ângulo de vértice C e o ângulo CDB são geometricamente iguais;
  • $\widehat{A}=40{}^\text{o}$;
  • $A\widehat{D}B=110{}^\text{o}$.
  1. Determina $B\widehat{D}C$ e $D\widehat{B}A$.
  2. Mostra que os triângulos [ABC] e [BCD] são isósceles e indica os lados iguais em cada um. Justifica convenientemente a resposta.

Resolução >> Resolução

  1. Tendo em
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