Um trapézio retângulo
Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 95 Ex. 49
Enunciado
Represente o trapézio [ABCD], retângulo em A e D, tal que: \[\begin{matrix}
\overline{AB}=5,4\,cm; & \overline{BC}=3\,cm & e & \overline{CD}=5\,cm \\
\end{matrix}\]
Determine um valor aproximado:
- do comprimento do lado [AD];
- da amplitude do ângulo agudo adjacente ao lado [CB];
- da amplitude do ângulo ACB.
Resolução
- Seja E a projeção ortogonal do ponto C sobre [AB].
Assim, $\overline{EB}=\overline{AB}-\overline{DC}=0,4\,cm$.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [EBC], vem: \[\overline{EC}=\sqrt{{{3}^{2}}-{{(0,4)}^{2}}}=\sqrt{9-{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{225-4}{25}}=\frac{\sqrt{221}}{5}\]
Logo, $\overline{AD}=\overline{EC}\simeq 2,97\,cm$.
- Esse ângulo é um ângulo agudo do triângulo retângulo [EBC].
Como \[sen\,E\hat{B}C=\frac{\overline{EC}}{\overline{BC}}=\frac{\frac{\sqrt{221}}{5}}{3}=\frac{\sqrt{221}}{15}\] então \[E\hat{B}C=se{{n}^{-1}}(\frac{\sqrt{221}}{15})\simeq 82,3{}^\text{o}\]
- Relativamente aos triângulos retângulos [ACE] e [ECB], temos:
\[tg\,A\hat{C}E=\frac{\overline{AE}}{\overline{EC}}=\frac{5}{\frac{\sqrt{221}}{5}}=\frac{25\sqrt{221}}{221}\]
\[sen\,E\hat{C}B=\frac{\overline{EB}}{\overline{BC}}=\frac{0,4}{3}=\frac{2}{15}\]
Dado que $A\hat{C}B=A\hat{C}E+E\hat{C}B$, então $A\hat{C}B=t{{g}^{-1}}(\frac{25\sqrt{221}}{221})+se{{n}^{-1}}(\frac{2}{15})\simeq 66,9{}^\text{o}$.
