Outro hexágono regular
Trigonometria: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 95 Ex. 48
Enunciado
Sobre o círculo trigonométrico de centro O da figura está representado um hexágono regular. A amplitude positiva mínima do ângulo generalizado AOB é $\frac{\pi }{9}$ radianos.
- Qual é, em radianos, a expressão geral das amplitudes do ângulo AOB?
- Prove que $\frac{4\pi }{9}$ radianos é uma amplitude do ângulo orientado AOC.
- Indique, em radianos, a amplitude dos seguintes ângulos generalizados: AOE, AOF e AOG.
- Determine, com aproximação às décimas, as coordenadas dos pontos E e G.
Resolução
Como a amplitude positiva mínima do ângulo generalizado AOB é $\frac{\pi }{9}$ radianos, então a expressão geral das amplitudes desse ângulo, em radianos, é: \[\frac{\pi }{9}+2k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}\]
- Como o hexágono é regular, então $B\hat{O}C=60{}^\text{o}=\frac{\pi }{3}rad$.
Assim, uma das amplitudes, em radianos, do ângulo orientado AOC é: \[A\hat{O}C=A\hat{O}B+B\hat{O}C=\frac{\pi }{9}+\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{9}\]
- Como $A\hat{O}E=A\hat{O}B+B\hat{O}E=\frac{\pi }{9}+3\times \frac{\pi }{3}=\frac{10\pi }{9}$ radianos, então a amplitude, em radianos, do ângulo generalizado AOE é: \[\frac{10\pi }{9}+2k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}\]
Como $A\hat{O}F=A\hat{O}B+B\hat{O}F=\frac{\pi }{9}+4\times \frac{\pi }{3}=\frac{13\pi }{9}$ radianos, então a amplitude, em radianos, do ângulo generalizado AOF é: \[\frac{13\pi }{9}+2k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}\]
Como $A\hat{O}G=A\hat{O}B+B\hat{O}G=\frac{\pi }{9}+5\times \frac{\pi }{3}=\frac{16\pi }{9}$ radianos, então a amplitude, em radianos, do ângulo generalizado AOG é: \[\frac{16\pi }{9}+2k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}\]
- $B\,(\cos \frac{10\pi }{9},sen\,\frac{10\pi }{9})$ e $G\,(\cos \frac{16\pi }{9},sen\,\frac{16\pi }{9})$.
Logo, as coordenadas destes pontos, com aproximação às décimas, são $(-0,9;-0,3)$ e $(0,8;-0,6)$, respetivamente.
