A área de um triângulo equilátero
Teorema de Pitágoras: Matematicamente Falando 8 - Pág. 57 Ex. 9
Determina um valor arredondado às décimas da área do triângulo equilátero da figura.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [BCM], temos:
\[\overline {CM} = \sqrt {{{\overline {BC} }^2} – {{\overline {BM} }^2}} = \sqrt {{{4,5}^2} – {{2,25}^2}} = \sqrt {20,25 – 5,0625} = \sqrt {15,1875} \]
Portanto, a altura do triângulo é, aproximadamente, \(h\simeq 3,9\) cm.
A área do triângulo, aproximada às décimas, é: \(A=\frac{4,5\times \sqrt{15,1875}}{2}\simeq 8,8\) cm2.
Os valores exatos da altura e da área do triângulo
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [BCM], temos:
\[\overline {CM} = \sqrt {{{\overline {BC} }^2} – {{\overline {BM} }^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{9}{2}} \right)}^2} – {{\left( {\frac{9}{4}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{9^2}}}{4} – \frac{{{9^2}}}{{16}}} = \sqrt {\frac{{4 \times {9^2}}}{{16}} – \frac{{{9^2}}}{{16}}} = \sqrt {3 \times \frac{{{9^2}}}{{16}}} = \frac{9}{4}\sqrt 3 \]
Portanto, a altura do triângulo é \(h = \frac{9}{4}\sqrt 3 \) cm.
A área do triângulo, em centímetros quadrados, é:
\[A = \frac{{\frac{9}{2} \times \frac{9}{4}\sqrt 3 }}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{{81}}{8}\sqrt 3 = \frac{{81}}{{16}}\sqrt 3 \]
