Classificação de sistemas de equações
Equações literais e sistemas: Matematicamente Falando 8 - Pág. 201 Tarefa 12
Considera os seguintes sistemas de equações:
\[\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{(I)}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y – x = 0}\\{4y – 2x = 1}\end{array}} \right.}&{{\rm{(II)}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = – 4}\\{2x + 2y = – 8}\end{array}} \right.}&{{\rm{(III)}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 36}\\{3x – y = 44}\end{array}} \right.}\end{array}\]
- Resolve graficamente os sistemas (I), (II) e (III).
- Resolve cada um dos sistemas de equações, usando o método de substituição.
- Classifica os sistemas de equações.
Considera os seguintes sistemas de equações:
\[\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{(I)}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y – x = 0}\\{4y – 2x = 1}\end{array}} \right.}&{{\rm{(II)}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = – 4}\\{2x + 2y = – 8}\end{array}} \right.}&{{\rm{(III)}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 36}\\{3x – y = 44}\end{array}} \right.}\end{array}\]
- Em cada um dos sistemas, comecemos por resolver cada uma das equações em ordem a y.
(I) \(\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y – x = 0}\\{4y – 2x = 1}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{1}{2}x}\\{y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}}\end{array}} \right.}\end{array}\)
O sistema é impossível, pois as duas funções afins possuem gráficos que são retas estritamente paralelas, visto que possuem declives iguais (\({\frac{1}{2}}\)) e ordenadas na origem diferentes: \(0\) e \({\frac{1}{4}}\).
(II) \(\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = – 4}\\{2x + 2y = – 8}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = – x – 4}\\{y = – x – 4}\end{array}} \right.}\end{array}\)
O sistema é possível e indeterminado, pois as duas funções afins possuem gráficos que são retas paralelas coincidentes, visto que possuem declives iguais (–1) e ordenadas na origem iguais: –4.
(III) \(\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 36}\\{3x – y = 44}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = – x + 36}\\{y = 3x – 44}\end{array}} \right.}\end{array}\)
O sistema é possível e determinado, pois as duas funções afins possuem gráficos que são retas concorrentes, visto que possuem declives diferentes: –1 e 3.
- Resolvendo cada um dos sistemas de equações, usando o método de substituição, vem:
\[\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y – x = 0}\\{4y – 2x = 1}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{1}{2}x}\\{4y – 2x = 1}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{1}{2}x}\\{\underbrace {2x – 2x = 1}_{{\rm{Eq}}{\rm{.\,impossível}}}}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{x \in \emptyset \wedge y \in \emptyset }\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = – 4}\\{2x + 2y = – 8}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = – x – 4}\\{2x – 2x – 8 = – 8}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = – x – 4}\\{\underbrace {0x = 0}_{{\rm{Eq}}{\rm{.\,possível\,indeterminada}}}}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{x \in \mathbb{R} \wedge y = – x – 4}\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 36}\\{3x – y = 44}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = – x + 36}\\{3x + x – 36 = 44}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = – x + 36}\\{4x = 80}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 20}\\{y = 16}\end{array}} \right.}\end{array}\] - A classificação dos sistemas de equações já foi feita em 1.
