A teoria aristotélica do movimento

Diagrama do Universo, segundo Aristóteles e Ptolomeu, da edição de 1524 da Cosmographia, de Peter Apian.

O modelo de Universo de Ptolomeu era essencialmente o aristotélico, ou seja, um cosmo finito, constituído de esferas concêntricas, com a Terra imóvel no centro. A atmosfera chegaria até a altura da Lua, definindo o espaço do mundo “sublunar”, constituído por quatro elementos, Terra, Água, Fogo e Ar. A partir da esfera da Lua, no mundo “supralunar”, constituído de um “quinto elemento”, o Éter, haveria uma série de esferas transparentes (que foram chamadas orbes) girando em torno da Terra e levando consigo os planetas Mercúrio, Vénus, Marte, Júpiter e Saturno (os planetas conhecidos na época), além do Sol. A última das esferas conteria as chamadas “estrelas fixas”, o primum mobile, “primeiro motor”. Para além deste, não haveria movimento, nem tempo, nem lugar (espaço), daí a noção de um cosmo finito ou “mundo fechado”.

Para compreender a natureza do trabalho de Galileu e para apreciar o seu significado deveremos examinar primeiramente o esquema de pensamento lógico anterior a Galileu, e que foi por este substituído. Na ciência física medieval, tal como Galileu a aprendeu na Universidade de Pisa, supunha-se existir uma distinção perfeitamente vincada entre os objetos terrestres e os objetos celestes. Acreditava-se que toda a matéria terrestre, aquela que estava ao nosso alcance físico, era composta por uma mistura de quatro ”elementos” – Terra, Água, Ar e Fogo. Mas não se pensava que estes elementos fossem idênticos aos materiais naturais com o mesmo nome. Pensava-se, por exemplo, que a água vulgar fosse uma mistura dos quatro elementos, embora o elemento predominante fosse a Água. Cada um dos quatro elementos era suposto ter um lugar natural na região terrestre. O lugar mais alto seria preenchido pelo Fogo; por baixo do Fogo estaria o Ar, depois a Água e, finalmente, na posição mais baixa, a Terra. Supunha-se também que cada um deles deveria procurar o seu próprio lugar. Assim o Fogo, se fosse deslocado para baixo da sua posição natural, tenderia a subir através do Ar. Da mesma maneira o Ar tenderia a subir através da Água, enquanto a Terra deveria cair através quer do Ar quer da Água. O movimento de qualquer corpo real dependeria da correspondente mistura destes quatro elementos e da sua posição em relação aos respetivos lugares naturais. Quando a água fervia, por exemplo, o elemento Água juntava-se ao elemento Fogo, cujo lugar natural mais elevado levava a mistura a subir, como vapor. Uma pedra, pelo contrário, sendo principalmente constituída pelo elemento Terra, caía quando solta, passando através do Fogo, do Ar e da Água, até ficar em repouso na terra, seu lugar natural.

Os pensadores medievais acreditavam também que as estrelas, os planetas e os outros corpos celestes diferiam na composição e no comportamento dos objetos situados na superfície terrestre ou na sua proximidade imediata. Supunham eles que os corpos celestes não continham nenhum dos quatro elementos ordinários, sendo unicamente formados por um quinto elemento, a quinta-essência. O movimento natural de objetos compostos deste elemento não era nem a queda nem a ascensão, mas antes uma interminável revolução circular em torno do centro do universo. Este centro era suposto estar colocado no centro da Terra. Os corpos celestes, embora em movimento, estariam sempre nos seus lugares naturais. Consequentemente, eles seriam radicalmente distintos dos objetos terrestres, que se deslocavam animados de movimento natural apenas quando afastados da sua posição natural e em direção a esta.

Esta teoria, largamente defendida na época de Galileu, tivera a sua origem quase 2000 anos antes, no século IV A. C. Encontramo-la claramente exposta nos trabalhos do filósofo grego Aristóteles. Esta ciência física, construída sobre a ordem, a classe, o lugar e a finalidade, encontra-se em razoável acordo com muitos factos observados quotidianamente. E parecia particularmente plausível em sociedades como aquelas em que Aristóteles e Galileu viveram, onde a posição hierárquica e a ordem eram dominantes na experiência humana. Além disso, estas conceções da matéria e do movimento eram apenas uma parte de um esquema universal ou “cosmologia”. Na sua cosmologia, Aristóteles procurou relacionar ideias atualmente agrupadas separadamente, sob os nomes de ciência, poesia, política, ética e teologia.

Não se sabe muito sobre a aparência física de Aristóteles ou sobre a sua vida. Pensa-se que tenha nascido em 384 A. C., na província grega da Macedónia. Seu pai era o médico do Rei da Macedónia, de modo que a primeira infância de Aristóteles foi passada na corte. Completou a sua educação em Atenas, regressando mais tarde à Macedónia para se tornar o tutor de Alexandre, o Grande. Em 335 A. C. Aristóteles regressou a Atenas e fundou o Liceu, simultaneamente escola e centro de investigação.

Depois do declínio da antiga civilização grega, os trabalhos de Aristóteles permaneceram virtualmente ignorados durante 1500 anos na Europa Ocidental. Foram redescobertos no século XIII D. C. e mais tarde incorporados nos trabalhos dos mestres e teólogos cristãos. Aristóteles passou então a exercer uma influência dominante, para o fim da Idade Média, a ponto de ser referido simplesmente como “O Filósofo”.

Fresco intitulado “Escola de Atenas”, de Rafael (princípios do século XVI). Reflete um aspeto primordial da Renascença, o recrudescer do interesse pela cultura clássica Grega. As figuras centrais são Platão (à esquerda, apontando para o céu) e Aristóteles (apontando para o solo).

Fonte do vídeo: Musei Vaticani, Scuola di Atene – Raffaello Sanzio. 3D Reconstruction

Os trabalhos de Aristóteles constituem quase uma enciclopédia do pensamento clássico grego. Alguns deles parecem constituir um simples resumo do trabalho de outros, mas a maior parte deve ter sido criada pelo próprio Aristóteles. É difícil de acreditar, hoje em dia, que um único homem pudesse estar tão bem informado em assuntos tão diversos como lógica, filosofia, teologia, física, astronomia, biologia, psicologia, política e literatura. Há grandes especialistas que se mostram reticentes em acreditar que possa ser tudo obra de um único homem.

Infelizmente, as teorias físicas aristotélicas tinham limitações graves (o que, evidentemente, não diminui em nada os seus grandes contributos noutros campos). Segundo Aristóteles, a queda de um objeto pesado em direção ao centro da Terra é um exemplo de movimento “natural”. É evidente que ele pensou que qualquer objeto, uma vez livre, atinge rapidamente um determinado valor, final, para a velocidade de queda, à qual se continua a mover até ao fim da trajetória. Quais os fatores determinantes da velocidade final de um objeto em queda? É fácil de ver que uma pedra cai mais depressa que uma folha. Consequentemente, raciocinou ele, o peso é o fator que rege a velocidade da queda. Esta conclusão concordava com a sua ideia de que a causa do peso era a presença do elemento Terra, cuja tendência natural era a de se dirigir para o centro da Terra. Portanto, quanto mais pesado fosse um objeto, isto é, quanto maior fosse o seu conteúdo de Terra, tanto maior seria a sua tendência para cair para o lugar natural, desenvolvendo portanto uma maior velocidade de queda.

Os mesmos objetos caem mais devagar através da água que através do ar, o que sugeriu a Aristóteles que a resistência do meio também poderia ser um fator determinante. Outros fatores, tais como a cor ou a temperatura do objeto, também poderiam, possivelmente, influenciar o movimento de queda, mas Aristóteles decidiu que a influência não poderia ser significativa. A conclusão foi que a velocidade de queda deveria crescer em proporção com o peso do objeto e decrescer em proporção com a força resistente do meio. A velocidade real de queda, em qualquer caso particular, seria obtida pelo quociente do peso pela resistência do meio.

Aristóteles discutiu também o movimento “violento”’, isto é, qualquer movimento distinto do da deslocação do objeto para o seu “lugar natural”. Tal movimento, argumentou ele, deveria ser sempre provocado por uma força, e a velocidade do movimento deveria crescer à medida que a própria força aumentasse. Quando a força fosse removida, o movimento deveria cessar. Esta teoria está de acordo com a experiência vulgar, resultante do empurrar de uma cadeia ou de uma mesa sobre o chão. Já não resulta tão bem, todavia, tratando-se do movimento de objetos no ar, uma vez que tais projéteis permanecem em movimento durante algum tempo, mesmo depois de deixar de se exercer força sobre eles. Para ter em conta este tipo de movimento, Aristóteles propôs que o próprio ar exerceria de alguma maneira uma força. Que conservaria o objeto em movimento.

Mais tarde foram propostas por cientistas algumas modificações à teoria aristotélica do movimento. Por exemplo, no século V D. C., João de Alexandria sugeriu que a velocidade de um objeto em movimento natural deveria ser obtida subtraindo a resistência do meio do peso do objeto e não dividindo este pela resistência. João de Alexandria afirmou que o trabalho experimental suportava a sua teoria. Embora não tivesse apresentado pormenores; disse apenas que deixara cair dois corpos, um dos quais era duas vezes mais pesado que o outro e que verificara que o corpo mais pesado não atingira o chão em metade do tempo do outro.

Havia ainda outras dificuldades relacionadas com a teoria aristotélica do movimento. Todavia, as limitações conhecidas na altura das suas lições, em nada diminuíram a importância que as universidades francesas e italianas lhes atribuíram durante os séculos XV e XVI. É que, apesar de tudo, a teoria aristotélica do movimento estava de acordo com a experiência vulgar, quanto mais não fosse de uma maneira geral, qualitativa. Além disso, o estudo do movimento através do espaço interessava primariamente apenas alguns, poucos, eruditos, tal como tinha constituído unicamente uma muito pequena parte do próprio trabalho de Aristóteles.

Dois outros factos entravaram o caminho às mudanças drásticas, que acabaram por se verificar na teoria do movimento. Em primeiro lugar, Aristóteles acreditava que a matemática era uma ferramenta de pequeno valor na descrição dos fenómenos terrestres. Em segundo lugar ele tinha sustentado com grande ênfase a importância das observações diretas e qualitativas como base da teorização (as observações qualitativas simples tiveram grande êxito nos estudos biológicos levados a cabo por Aristóteles). Mas, na realidade, verificou-se que o autêntico progresso na física começou apenas quando foi reconhecido o valor da previsão matemática e da medição pormenorizada e rigorosa.

Um certo número de grandes mestres dos séculos XV e XVI contribui para a mudança verificada na maneira de fazer ciência. Mas, de todos eles, Galileu foi de longe o mais eminente e bem-sucedido. Galileu mostrou como descrever matematicamente o movimento de objetos simples e vulgares – pedras em queda e esferas rolando em planos inclinados. Este trabalho não abriu apenas o caminho a outros homens para que descrevessem e explicassem os movimentos de todos os corpos, desde calhaus a planetas: iniciou também uma autêntica revolução intelectual que conduziu ao que hoje chamamos a ciência moderna.

Questão 1

Quais das afirmações seguintes poderiam ser aceites nos séculos XV e XVI por aqueles que acreditavam no sistema aristotélico de pensamento?

1. As ideias sobre o movimento deverão estar de acordo com a poesia, a política, a teologia e outros aspetos do pensamento e atividade humanos.
2. Os corpos pesados caem mais depressa que os leves.
3. Se excetuarmos o movimento em direção ao “lugar natural”, os corpos não deverão mover-se exceto quando atuados “violentamente” por uma força.
4. A matemática e a medição precisa são excecionalmente importantes no desenvolvimento de uma teoria do movimento.

Galileu descreve o movimento

Galileu e o seu tempo

Retrato de Galileu Galilei.

Óleo sobre tela por Justus Sustermans. Pintado em 1636 e oferecido por Galileu a um amigo em Paris. Mais tarde fez parte da coleção de Ferdimnado II de Medici; na Galeria degli Uffizi, Firenze, desde 1678.

Galileu Galilei nasceu em Pisa em 1564 – o ano da morte de Miguel Ângelo e do nascimento de Shakespeare. Filho de um nobre florentino, herdou do pai um ativo interesse pela poesia, pela música e pelos clássicos. O seu espírito científico e inventivo começou cedo a manifestar-se. Por exemplo, ainda jovem estudante de medicina na Universidade de Pisa, construiu um maquinismo simples de medição do tempo, do tipo do pêndulo, para uma medida mais precisa da pulsação dos pacientes.

Desviado da medicina e atraído para a física pela leitura dos trabalhos de Euclides e Arquimedes, Galileu tomou-se rapidamente conhecido pela sua invulgar capacidade para a ciência. Com a idade de 26 anos foi designado Professor de Matemática em Pisa. Aí mostrou uma notável independência de pensamento, não amadurecida pelo tato ou pela paciência. Pouco depois de ser designado para o cargo, começou a desafiar e criticar as opiniões dos seus colegas mais velhos, muitos dos quais se tornaram seus inimigos. Abandonou Pisa antes de terminar as suas funções, aparentemente forçado por dificuldades financeiras e pelos seus encarniçados opositores. Mais tarde, em Pádua, na República de Veneza, começou a trabalhar em astronomia. A sua defesa da teoria heliocêntrica do universo trouxe-lhe eventualmente novos inimigos, mas deu-lhe também uma fama imortal.

De regresso à província natal da Toscânia em 1610, por generosa oferta do Grão-Duque, Galileu tomou-se Filósofo e Matemático da Corte, título escolhido por ele próprio. De então até à morte, com 78 anos, continuou a investigar, a ensinar e a escrever, a despeito de doenças, de problemas familiares, de ocasionais dificuldades económicas e de discussões e lutas com os inimigos.

Duas Novas Ciências, de Galileu

Primeira página de Discursos e Demonstrações Matemáticas Relativas a Duas Novas Ciências Pertencentes à Mecânica e ao Movimento Local (1638).

Os primeiros escritos de Galileu sobre mecânica (o estudo do comportamento da matéria sob a influência de forças) integravam-se na tradição das teorias físicas medievais típicas, embora ele estivesse consciente das limitações dessas teorias. Durante a sua maturidade, o seu principal interesse centrou-se na astronomia. Todavia, quando a Inquisição Católica Romana condenou o seu importante livro sobre astronomia, Diálogo Sobre os Dois Grandes Sistemas Universais (1632) e o proibiu de ensinar a “nova” astronomia, Galileu decidiu concentrar-se novamente na mecânica. O seu trabalho conduziu ao livro Discursos e Demonstrações Matemáticas Relativas a Duas Novas Ciências Pertencentes à Mecânica e ao Movimento Local (1638), vulgarmente referido pelo nome de Duas Novas Ciências. Este trabalho assinalou o começo do fim não só da teoria medieval da mecânica, mas também de toda a cosmologia aristotélica que suportava.

Galileu estava velho, doente e quase cego quando escreveu Duas Novas Ciências. Todavia, como em todos os seus escritos, o seu estilo é mágico e maravilhoso. Utilizou o diálogo para conseguir apresentar uma conversação ”viva” entre três oradores: Simplício, o competente representante do ponto de vista aristotélico: Salviatti, o apresentador das novas ideias de Galileu: e Sagredo, o personagem intelectualmente não comprometido, de boa vontade e espírito aberto, ansioso por aprender. Naturalmente, como seria de esperar, Salviatti dirige os seus companheiros até às ideias de Galileu.

O problema da queda livre

Ouçamos os três oradores de Galileu a discutirem o problema da queda livre:

Salviatti: Tenho sérias dúvidas que Aristóteles tenha alguma vez verificado experimentalmente se é verdade que duas pedras, deixadas cair de uma mesma altura de, digamos, 100 cúbitos, e uma delas pesando 10 vezes mais que a outra, adquirissem velocidades tão diferentes que, quando a mais pesada tocasse o solo, a mais leve não tivesse senão caído de 10 cúbitos. [1 “cúbito” mede cerca de 50 cm].

Simplício: As suas palavras indicariam que ele teria tentado a experiência, pois ele diz: “Nós vemos a mais pesada”; ora a palavra “vemos” mostra que ele realmente fez a experiência.

Sagredo: Mas, Simplício, eu que fiz a experiência posso garantir que uma bala de canhão, pesando uma ou duas centenas de libras ou mesmo mais, não tocará o chão com mais do que uma mão-travessa de avanço de uma bala de mosquete, pesando apenas meia libra, desde que ambas tenham sido largadas de uma altura de 200 cúbitos. [Uma libra equivale a 453,6 gramas].

Uma página da edição original italiana de Duas Novas Ciências, mostrando as passagens que estão traduzidas no texto.

Poder-se-ia esperar que houvesse aqui uma referência pormenorizada a uma experiência realizada por Galileu ou por algum dos seus colegas. Em vez disso, Galileu usa uma “experiência pensada” – uma análise do que deveria acontecer numa experiência imaginária para lançar uma grave objeção sobre a teoria do movimento de Aristóteles:

Salviatti: Mas, mesmo sem qualquer outra experiência, é possível provar claramente, por meio de um argumento curto e concludente, que um corpo mais pesado que outro não se move mais rapidamente que este, desde que ambos sejam do mesmo material e, em resumo, tais como os mencionados por Aristóteles. Mas diz-me, Simplício, se admites que cada corpo em queda adquire um valor definitivo de velocidade, fixado pela natureza, uma velocidade que não pode ser aumentada ou diminuída exceto pelo uso de uma violência ou de uma resistência?

Simplício: Não poderá existir qualquer dúvida de que um corpo, movendo-se num meio simples, tem uma velocidade fixa determinada pela natureza, que não pode ser aumentada senão pela adição de ímpeto ou diminuída senão por alguma resistência que o trave.

Salviatti: Se tomarmos então dois corpos de velocidades diferentes é evidente que, ao uni-los, o mais rápido será parcialmente retardado pelo mais lento e que o mais lento será de alguma maneira apressado pelo outro. Não concordas comigo?

Simplício: Sem dúvida.

Salviatti: Mas se isto for verdade e se uma pedra bem grande se move com uma velocidade de, digamos, oito, enquanto que uma outra mais pequena se move com uma velocidade de quatro, então quando as duas estiverem unidas o sistema mover-se-á a uma velocidade menor que oito; mas as duas pedras juntas formam uma pedra maior que a que se movia antes com a velocidade de oito. Consequentemente, o corpo mais pesado move-se mais devagar que o mais leve, um efeito que é contrário àquilo que supões. Vês assim como, a partir da tua suposição de que o corpo mais pesado se move mais rapidamente que o mais leve, posso concluir que o corpo mais pesado se move mais lentamente.

Simplício: Não sei que dizer… Isso está, na verdade, para lá da minha compreensão.

Simplício mostra-se confundido quando Salvatti lhe mostra que a teoria aristotélica sobre a queda dos corpos é autocontraditória. Mas embora Simplício não consiga refutar a lógica de Galileu, os seus olhos mostram-lhe que um objeto pesado cai realmente mais depressa que um objeto leve:

Simplício: O teu argumento é realmente admirável, mas mesmo assim não me parece fácil de acreditar que um pequeno grão de chumbo caia tão velozmente como uma bala de canhão.

Salviatti: Por que não dizer o mesmo de um grão de areia e de uma mó? Mas, Simplício, acredito que não seguirás o exemplo de muitos outros que desviam a discussão da sua principal finalidade, atirando-se a qualquer afirmação minha que se afaste da verdade apenas pela espessura de um cabelo e escondendo atrás desse cabelo o erro de um outro, tão grosso como o cabo de um navio. Aristóteles afirma que “uma esfera de ferro de uma centena de libras de peso largada da altura de 100 cúbitos atinge o chão antes que uma outra esfera de uma libra de peso tenha caído um simples cúbito”. Eu afirmo que elas chegam ao chão ao mesmo tempo. Ao fazeres a experiência, verificas que a esfera mais pesada ganha sobre a outra apenas um avanço igual à espessura de dois dedos… Não irás agora esconder por detrás desses dois dedos os 99 cúbitos de Aristóteles, nem mencionarás o meu pequeno erro, passando em silêncio sobre o seu erro enorme.

Eis uma afirmação clara de um importante princípio: mesmo numa cuidadosa observação de um acontecimento natural vulgar, a atenção do observador poderá ser atraída pelo que é na realidade um pequeno efeito, trazendo como consequência a não observação de uma regularidade muito mais importante. Diferentes corpos caindo através do ar de uma mesma altura, efetivamente, não atingem o chão exatamente no mesmo instante. Todavia, o ponto importante não é o facto de que os instantes de chegada são ligeiramente diferentes, mas o de que eles são muito aproximadamente os mesmos! Galileu encara o facto de os corpos não chegarem exatamente ao mesmo tempo como um efeito menor, que poderia ser explicado por uma compreensão mais profunda do movimento em queda livre. O próprio Galileu atribui, corretamente, os resultados observados a diferenças no efeito da resistência do ar ao movimento de corpos com diferentes dimensões e pesos. Alguns anos após a morte de Galileu, a invenção da bomba de vácuo permitiu que outros mostrassem que Galileu tinha razão. Eliminado o feito da resistência do ar – por exemplo, quando uma pena e uma pesada moeda de ouro são largadas da mesma altura e ao mesmo tempo no interior de um reservatório em que previamente se fez vazio – corpos diferentes caem à mesma velocidade e atingem o fundo do reservatório ao mesmo tempo. Só muito depois de Galileu foi possível formular as leis da resistência do ar, que levaram à compreensão de quando e por quanto é menor a velocidade de um corpo leve do que a de um outro mais pesado.

Uma fotografia estroboscópica de duas esferas de pesos diferentes em queda livre. As duas esferas foram largadas simultaneamente. O intervalo de tempo entre duas imagens sucessivas é de 1/30 segundo.

Aprender o que se deve ignorar foi quase tão importante para o desenvolvimento da ciência como aprender o que se deve considerar. No caso da queda dos corpos, a explicação de Galileu dependeu do facto de ele ser capaz de imaginar como cairia um objeto se não existisse resistência do ar. Isto pode ser fácil para nós, conhecedores das bombas de vácuo, mas tratava-se de uma explicação difícil de aceitar no tempo de Galileu. Para a maior parte das pessoas, tal como para Aristóteles, o mero senso comum indicava que a resistência do ar estava sempre presente na natureza. Consequentemente, uma pena e uma moeda nunca poderiam cair à mesma velocidade. Para quê falar de hipotéticos movimentos no vácuo, se nem se podia mostrar que tal vácuo existia? A física, assim como o disseram Aristóteles e os seus seguidores, deverá preocupar-se com o mundo à nossa volta, com aquilo que podemos observar e não com uma espécie de mundo imaginário que poderá nunca ser encontrado.

A física aristotélica tinha dominado a Europa a partir do século XIII, em grande parte porque muitos cientistas inteligentes estavam convencidos de que ela oferecia o método mais racional para a descrição dos fenómenos naturais. Vencer uma doutrina tão firmemente estabelecida exigiu muito mais do que a escrita de argumentos razoáveis ou do que largar objetos leves e pesados do cimo de um alto edifício, como se diz muitas vezes que foi feito por Galileu (e que provavelmente não corresponde à verdade) do cimo da Torre inclinada de Pisa. Foi necessária a invulgar combinação de talento matemático, habilidade experimental, estilo literário e pertinácia infatigável de Galileu para desacreditar as teorias de Aristóteles e para iniciar a era da física moderna.

Uma razão básica para o êxito de Galileu foi a de que este expôs precisamente o ponto mais fraco da teoria aristotélica, ao mostrar que a física poderá tratar melhor os fenómenos se compreendermos que o mundo das observações à nossa volta não é o ponto de partida simples que os aristotélicos pensavam ser. Pelo contrário, o mundo que observamos vulgarmente é quase sempre muito complexo. Por exemplo, ao observar-se a queda dos corpos podem-se ver os efeitos quer da lei da queda quer da lei da resistência sobre os objetos que se movem através do ar. Para se compreender o que se observa deverá começar-se por um caso simples (tal como o da queda sem resistência), mesmo que isto tenha de ser “visto” apenas na mente do observador ou através de um modelo matemático. Ou poderá recorrer-se a uma experiência no laboratório, onde as condições vulgares de observação podem ser alteradas. Só depois de se compreender cada um dos diferentes efeitos por si só se deverão encarar as complexidades de conjunto constituído pelo caso ordinário.

Brian Cox visita NASA’s Space Power Facility, em Ohio, para ver o que acontece
quando uma bola de bólingue e uma pena são deixadas cair juntas numa câmara de vácuo.
(Não esquecer de apreciar o belo sorriso de uma criança!)

Questão 2

Se um prego e um palito forem simultaneamente deixados cair da mesma altura, não tocam o chão exatamente no mesmo instante (Experimente-se com estes objetos ou outros semelhantes). Como explicaria este facto a teoria aristotélica? Qual seria a explicação de Galileu?

Por que se estuda o movimento de queda livre dos corpos?

Poucos pormenores eram realmente novos no ataque de Galileu à cosmologia aristotélica. Todavia, os seus estudos e as suas descobertas constituíram o primeiro desenvolvimento coerente da ciência do movimento. Galileu apercebeu-se de que, de todos os movimentos observáveis na natureza, o de queda livre era a chave da compreensão de todos os movimentos dos corpos. O golpe de génio manifestou-se na decisão de qual o fenómeno-chave a estudar. Mas Galileu é também, em muitos aspetos, um exemplo típico dos cientistas em geral. Os seus estudos sobre o problema do movimento são um bom exemplo a ser usado na discussão da estratégia a seguir na investigação, que ainda hoje é usada em ciência.

Estas são algumas das razões que justificam o estudo pormenorizado do trabalho de Galileu sobre o problema da queda livre. O próprio Galileu viu ainda uma outra razão – que o estudo que ele se propunha fazer sobre o movimento era apenas o primeiro passo num campo científico desconhecido e tremendamente rico:

O meu objetivo é expor uma ciência completamente nova, tratando de um assunto muito antigo. Não haverá talvez na natureza nada de mais antigo que o movimento, a respeito do qual os livros escritos pelos filósofos não são nem escassos nem pequenos; todavia, descobri algumas propriedades importantes que não foram até agora nem observadas nem demonstradas. Foram já feitas algumas observações superficiais como, por exemplo, que o movimento natural de um corpo pesado em queda é continuamente acelerado, mas ainda não foi indicado até que ponto ocorre esta aceleração.

Consegui também provar outros factos, não escassos em número nem em importância; e, o que considero mais importante, abrirem-se para esta vasta e excelente ciência, da qual o meu trabalho não passa de um prólogo, caminhos e direções, que outras mentes mais valiosas que a minha explorarão até às mais recônditas fronteiras.

Na verdade, já muito antes de Galileu se tinha passado da fase de mera «observação superficial». Por exemplo, Nicolas Oresme e outros, da Universidade de Paris, descobriram em 1330 a mesma relação distância-tempo para os corpos em queda que Galileu anunciava em Duas Novas Ciências.

Galileu escolhe uma definição de aceleração uniforme

A obra Duas Novas Ciências trata diretamente do movimento dos corpos em queda livre. Ao estudar os próximos parágrafos, deveremos ter sempre em atenção a finalidade proposta por Galileu. Em primeiro lugar, ele discute a matemática de um tipo de movimento simples e possível (a que chamamos hoje de aceleração uniforme ou constante). Depois ele propõe (ou admite) que os corpos pesados caem na realidade exatamente dessa maneira. Em seguida, tomando como base essa hipótese, obtém um certo número de previsões em relação ao movimento de esferas rolando sobre um plano inclinado. Finalmente, mostra que a experiência está de acordo com aquelas previsões.

A primeira parte do trabalho de Galileu é uma completa discussão do movimento com velocidade constante. Essa discussão conduz à segunda parte, onde se pode encontrar Salviatti a dizer:

Passamos agora ao… movimento naturalmente acelerado. Tal como é o efetuado pelos corpos pesados em queda.

… no estudo do movimento naturalmente acelerado somos levados a usar apenas os métodos mais comuns, mais simples e fáceis, seguindo o método da própria natureza, em todos os seus vários processos.

Quando, portanto, observo uma pedra, inicialmente em repouso, cair de uma posição elevada e adquirir constantemente novos incrementos na sua velocidade, por que não deverei acreditar que tais acréscimos têm lugar de uma maneira extremamente simples e óbvia para toda a gente? Se examinarmos o problema cuidadosamente descobriremos que o processo de incrementação mais simples é o que se obtém pela adição repetida de uma mesma parcela, sempre da mesma maneira. Compreenderemos isto imediatamente ao considerar a relação íntima que existe entre o tempo e o movimento; assim como a uniformidade do movimento é definida e concebida na base de tempos iguais e de espaços iguais (chamamos uniforme ao movimento em que em intervalos de tempo iguais se percorrem distâncias iguais), de uma maneira semelhante podemos conceber que os acréscimos de velocidade têm lugar a intervalos de tempo iguais, sem mais complicação…

Consequentemente, a definição do movimento que estamos a estudar pode ser feita do seguinte modo:

Um movimento é dito uniformemente acelerado quando, partindo do repouso, o corpo adquire iguais incrementos na velocidade em intervalos de tempo iguais.

Sagredo: Embora não possa opor uma objeção racional a esta ou a qualquer outra definição, apresentada seja por quem for, já que todas as definições são arbitrárias, sinto-me todavia autorizado a duvidar se uma definição como essa, estabelecida de uma maneira abstrata, corresponde e descreve o tipo do movimento acelerado que encontramos na natureza no caso de corpos em queda livre…

Eis que Sagredo se interroga sobre se a definição arbitrária que Galileu dá de aceleração corresponderá à maneira como caem os objetos reais. Será a aceleração, tal como a definida, realmente útil na descrição do fenómeno natural? Sagredo levanta também uma outra questão, ainda não discutida por Galileu:

A partir dessas considerações talvez se possa obter uma resposta a uma pergunta já abordada pelos filósofos, a de qual será a causa da aceleração do movimento natural dos corpos pesados…

Mas Salviatti, o porta-voz de Galileu, rejeita a tendência clássica de investigar os fenómenos olhando para as suas causas. Será prematuro, diz ele, investigar a causa de um movimento antes de se obter uma descrição precisa do fenómeno:

Salviatti: Não parece ser esta a altura mais apropriada para se investigar a causa da aceleração do movimento natural, em relação à qual os filósofos emitiram já diversas opiniões, alguns explicando-a pela atração para o centro, outros pela repulsão entre partes muito pequenas do corpo e outros ainda atribuindo-a a uma certa pressão do meio que, fechando-se por cima do corpo em queda, o empurraria de uma posição para a seguinte. É evidente que todas estas fantasias e outras mais deverão ser examinadas, mas não vale realmente a pena. O único propósito do nosso Autor, neste momento, é o de investigar e demonstrar algumas das propriedades do movimento acelerado, qualquer que seja a causa dessa aceleração.

Galileu introduziu duas proposições distintas:

1. aceleração “uniforme” significa iguais incrementos de velocidade, \(\Delta v\), em iguais intervalos de tempo, \(\Delta t\);
2. a queda dos corpos obedece realmente a essa hipótese.

Olhemos com mais atenção a definição proposta por Galileu.

Será a única maneira de definir a aceleração uniforme? De modo algum! O próprio Galileu afirma ter pensado que poderia ser mais útil definir o termo aceleração uniforme em relação a um movimento no qual a velocidade aumentasse proporcionalmente à distância percorrida, \(\Delta d\), em vez de ser proporcionalmente ao tempo, \(\Delta t\). Note-se que ambas as definições satisfazem ao requisito de simplicidade exigido por Galileu. (Na verdade ambas as definições tinham sido discutidas desde o início do século XIV.) Além disso, ambas as definições parecem enquadrar-se igualmente bem dentro da noção comum de aceleração. Quando dizemos que um corpo está “a acelerar”, tanto podemos querer dizer que “quanto mais longe está, mais depressa anda” como “quanto mais tempo passa mais depressa anda”. Como escolher entre estas duas possibilidades? Qual será a definição mais útil para a descrição da natureza?

É aqui que a experiência se torna importante. Galileu prefere definir a aceleração uniforme como a do movimento no qual a variação de velocidade, \(\Delta v\), é proporcional ao tempo decorrido, \(\Delta t\), e demonstra em seguida que esta definição está de acordo com o comportamento de corpos reais em movimento, tanto no laboratório como na experiência vulgar e direta, digamos “não preparada”. Como se verá mais adiante, a escolha foi correta. Mas ver-se-á também que Galileu não conseguiu provar a sua hipótese por meios óbvios ou diretos.

Questão 3

Descreva velocidade uniforme, sem se referir a fotografias estroboscópicas, ou a qualquer objeto ou técnica de medida em particular.

Questão 4

Exprima por palavras a definição dada por Galileu de movimento uniforme acelerado. Escreva-a também na forma de uma equação.

Questão 5

Quais as duas condições exigidas por Galileu para a sua definição uniforme?

Galileu não consegue verificar diretamente a sua hipótese

Depois de ter definido aceleração uniforme de acordo com a maneira como acreditava que se comportavam os corpos em queda livre, o passo seguinte de Galileu foi o de procurar uma maneira de mostrar que a definição escolhida para a aceleração uniforme era útil para a descrição dos movimentos observados.

Suponhamos que deixamos cair um objeto pesado de várias alturas diferentes – digamos das janelas de diversos andares de um prédio. Queremos verificar se a velocidade final aumenta em proporção com o tempo que ele leva a cair – isto é, se \(\Delta v \propto \Delta t\) ou, o que é o mesmo, se \(\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\) é constante. Em cada ensaio deveremos observar o tempo de queda e a velocidade do objeto, imediatamente antes de chocar com o chão. Mas aí é que está o problema! Mesmo hoje seria muito difícil efetuar na prática uma medida direta da velocidade alcançada pelo objeto imediatamente antes de atingir o chão. Além disso, os tempos de queda totais (menos de 3 segundos, mesmo para uma queda do cimo de um prédio de 10 andares) são mais curtos do que os que Galileu poderia ter medido com a precisão dos relógios de que dispunha. Por tudo isso não lhe era possível efetuar um teste direto sobre a constância de \(\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\).

Questão 6

De entre as apresentadas a seguir, quais são as razões válidas pelas quais Galileu não poderia ter verificado diretamente se a velocidade final alcançada por um corpo em queda livre é proporcional ao tempo de queda?

1. A sua definição estava errada.
2. Ele não poderia medir a velocidade do objeto imediatamente antes de alcançar o solo.
3. Não existiam instrumentos para medir o tempo.
4. Ele não poderia ter medido as distâncias com precisão suficiente.
5. A experimentação não era autorizada em Itália.

Procurando as consequências lógicas da hipótese de Galileu

A impossibilidade de efetuar medidas diretas para verificar a sua hipótese – de que \(\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\) é constante na queda livre – não fez parar Galileu. Voltando-se para a matemática, procurou derivar da sua hipótese alguma outra relação que pudesse ser comprovada com o equipamento de que dispunha. Veremos que, em alguns passos, se aproximou muito de uma expressão capaz de demonstrar a sua hipótese inicial.

Grandes distâncias de queda e grandes intervalos de tempo são, naturalmente, mais fáceis de medir que os pequenos valores de \(\Delta d\) e \(\Delta t\) necessários para determinar a velocidade final do objeto em queda, imediatamente antes de atingir o solo. Por isso, Galileu tentou descobrir, pelo raciocínio, como deveria variar a distância total de queda em relação ao tempo total de queda se os corpos caíssem com aceleração uniforme. Já sabemos como determinar a distância total percorrida num determinado tempo total, para um movimento com velocidade constante. Vamos agora deduzir uma nova equação que relaciona a distância total de queda com o tempo total para um movimento com aceleração constante. Não seguiremos a par e passo a dedução de Galileu, mas o resultado será o mesmo. Em primeiro lugar rememoraremos a definição de velocidade média, como sendo a distância percorrida, \(\Delta d\), dividida pelo tempo decorrido, \(\Delta t\):

\[{v_{méd}} = \frac{{\Delta d}}{{\Delta t}}\]

Esta é uma definição geral e pode ser usada para calcular a velocidade média a partir das medidas de \(\Delta d\) e \(\Delta t\), independentemente de \(\Delta d\) e \(\Delta t\) serem grandes ou pequenos. A equação pode ser escrita da seguinte maneira:

\[\Delta d = {v_{méd}} \times \Delta t\]

Esta equação é sempre verdadeira, embora seja na realidade uma definição de \({v_{méd}}\). Para o caso particular do movimento a velocidade constante, \(v\), vem \({v_{méd}} = v\) e, consequentemente, \(\Delta d = v \times \Delta t\). Quando o valor de \(v\) é conhecido (quando, por exemplo, um carro é conduzido à velocidade constante de 60 km/h, medida no velocímetro), esta equação pode ser usada para o cálculo da distância percorrida (\(\Delta d\)) num dado intervalo de tempo (\(\Delta t\)) qualquer. Mas no movimento uniformemente acelerado a velocidade varia continuamente – portanto, que valor usar para \({v_{méd}}\)?

A resposta envolve apenas um pouco de álgebra e algumas considerações plausíveis. Galileu pensou (tal como outros tinham já feito antes dele) que para qualquer quantidade variando uniformemente, o valor médio está exatamente a meio caminho entre valor inicial e o valor final. Para o movimento uniformemente acelerado iniciando-se a partir do repouso (para o qual é \({v_{inicial}} = 0\)) e terminando à velocidade \({v_{final}}\), esta regra diz-nos que a velocidade média é a média das velocidades inicial e final, \({v_{inicial}}\) e \({v_{final}}\) – isto é, \({v_{méd}} = \frac{1}{2}{v_{final}}\). Se este raciocínio for correto, segue-se que:

\[\Delta d = \frac{1}{2}{v_{final}} \times \Delta t\]

para o movimento uniformemente acelerado iniciando-se a partir do repouso.

Esta relação ainda não poderia ter sido verificada diretamente, já que nela está envolvida uma velocidade. O que nos propomos fazer é obter uma equação que relacione a distância e o tempo totais, sem qualquer necessidade de medição de velocidades. Olhemos então para a definição de aceleração uniforme, dada por Galileu: \(a = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\). Poderemos reescrever esta equação na forma \(\Delta v = a \times \Delta t\). O valor de \(\Delta v\) é exatamente \({v_{final}} – {v_{inicial}}\); e \({v_{inicial}} = 0\) para um movimento que se inicia a partir do repouso. Portanto, podemos escrever:

\[\begin{array}{*{20}{r}}{\Delta v = a \times \Delta t}\\{{v_{final}} – {v_{inicial}} = a \times \Delta t}\\{{v_{final}} = a \times \Delta t}\end{array}\]

Podemos agora substituir esta expressão para \({v_{final}}\) na equação obtida acima para \(\Delta d\). Consequentemente, se o movimento se inicia a partir do repouso e se ele for uniformemente acelerado (e se a regra da média estiver correta, tal como supusemos), poderemos escrever:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta d = \frac{1}{2}{v_{final}} \times \Delta t}\\{\Delta d = \frac{1}{2}\left( {a \times \Delta t} \right) \times \Delta t}\end{array}\]

Ou, reagrupando os termos:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta d = \frac{1}{2}a{{\left( {\Delta t} \right)}^2}}\end{array}\]

Este é o tipo de relação procurada por Galileu – relaciona a distância total \(\Delta d\) com o tempo total \(\Delta t\), sem envolver qualquer termo dependente da velocidade.

Antes de acabar, contudo, vamos simplificar os símbolos que aparecem na equação, de modo a tornar mais fácil a sua utilização. Medindo a distância e o tempo a partir da posição e do instante em que o movimento se inicia (\({d_{inicial}} = 0\) e \({t_{inicial}} = 0\)), os intervalos \(\Delta d\) e \(\Delta t\) têm os valores dados por \({d_{final}}\) e \({t_{final}}\). A equação escrita acima pode, portanto, ser escrita mais simplesmente na forma:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{d_{final}} = \frac{1}{2}a{{\left( {{t_{final}}} \right)}^2}}\end{array}\]

Note-se que esta é uma relação muito particular – dá a distância total de queda como função do tempo total de queda, mas apenas se o movimento começar do repouso (\({v_{inicial}} = 0\)), se a aceleração for uniforme (\(a = constante\)) e se o tempo e a distância forem medidas a partir do início do movimento (\({t_{inicial}} = 0\) e \({d_{inicial}} = 0\)).

Galileu chegou à mesma conclusão, embora não tivesse usado formas algébricas para o exprimir. Uma vez que estamos interessados unicamente na situação particular de a aceleração, \(a\), ser constante, a quantidade \(\frac{1}{2}a\) é também constante e poderemos apresentar a conclusão a que chegámos na forma de uma proporção: no movimento uniformemente acelerado iniciado a partir do repouso, a distância percorrida é proporcional ao quadrado do tempo decorrido, ou seja:

\[{d_{final}} \propto {\left( {{t_{final}}} \right)^2}\]

Por exemplo, se um automóvel em movimento uniformemente acelerado a partir do repouso percorrer 10 metros no primeiro segundo, no dobro do tempo terá percorrido uma distância quatro vezes maior, ou seja, 40 metros nos primeiros dois segundos. Nos primeiros três segundos deslocar-se-á para um ponto nove vezes mais distante, ou seja 90 metros.

Outra maneira de exprimir esta relação é dizer que o quociente de \({d_{final}}\) por \({\left( {{t_{final}}} \right)^2}\) tem um valor constante, isto é:

\[\frac{{{d_{final}}}}{{{{\left( {{t_{final}}} \right)}^2}}} = constante\]

Portanto, um resultado lógico da proposição original de Galileu para definição de aceleração uniforme poderá ser expresso da seguinte maneira: se um corpo acelerar uniformemente a partir do repouso, o quociente \(\frac{d}{{{t^2}}}\) deverá ser constante. Inversamente, qualquer movimento para o qual o quociente de \(d\) por \({t^2}\) seja constante, para várias distâncias e correspondentes intervalos de tempo, será um caso de movimento com aceleração uniforme, tal como esta é definida por Galileu.

É evidente que haverá que verificar se o movimento de queda livre dos corpos exibe realmente estas características. Recorde-se a impossibilidade encontrada de verificar diretamente se \(\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\) tem valor constante. Galileu mostrou que uma consequência lógica da constância de \(\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\) é a constância do quociente de \({d_{final}}\) por \({\left( {{t_{final}}} \right)^2}\). Os valores do tempo total e da distância de queda seriam mais fáceis de medir do que os pequenos valores \(\Delta d\) e \(\Delta t\) necessários para calcular \(\Delta v\). Todavia, a medição do tempo de queda era ainda uma tarefa difícil, com os recursos disponíveis na altura. Por isso, em vez de uma verificação direta da sua hipótese, Galileu concebeu de uma maneira engenhosa uma verificação indireta.

Nota: Por uma questão de comodidade e porque a usaremos muitas vezes, representaremos a expressão \(\frac{{{d_{inicial}}}}{{{{\left( {{t_{final}}} \right)}^2}}}\) simplesmente por \(\frac{d}{{{t^2}}}\) – subentendendo-se, no entanto, que \(d\) e \(t\) significam a distância total e o tempo total do movimento, e que este se iniciou a partir do repouso.

Questão 7

Por que razão era mais promissora para Galileu a equação \(d = \frac{1}{2}a{t^2}\) do que \(a = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\), na verificação da sua hipótese?

Questão 8

O resultado \(\Delta d = a{\left( {\Delta t} \right)^2}\) parece poder ser obtido pela combinação direta das duas equações \(\Delta d = v\Delta t\) e \(\Delta v = a\Delta t\). Qual o erro que se está a cometer com este procedimento?

Galileu escolhe uma verificação indireta

Ao compreender que uma verificação quantitativa direta recorrendo a um corpo em queda livre, rápida, não seria suficientemente precisa, Galileu propôs-se fazer a experiência sobre um objeto cujo movimento não fosse tão rápido. Propôs uma nova hipótese: se um corpo em queda livre tem uma aceleração constante, uma bola perfeitamente esférica rolando ao longo de um plano inclinado perfeitamente liso também terá uma aceleração constante, embora menor. Portanto, Galileu afirmou que se a relação \(\frac{d}{{{t^2}}}\) for constante para um corpo em queda livre a partir do repouso, também será constante, embora menor, para uma esfera deixada inicialmente em repouso e rolando ao longo de um plano inclinado retilíneo.

Este fresco, pintado em 1841 por Giuseppe Bezzuoli, tenta reconstituir uma experiência atribuída a Galileu, que a teria realizado enquanto professor em Pisa. À esquerda e à direita estão homens rancorosos: o colérico Príncipe Giovanni de Medici (Galileu demonstrou a inutilidade de uma draga inventada pelo Príncipe) e os adversários científicos de Galileu. Estes, lentes de várias universidades, são aqui mostrados debruçados sobre um livro de Aristóteles, no qual estaria escrito – preto sobre o branco – que corpos de pesos diferentes deveriam cair com velocidades diferentes. Galileu, a figura mais alta do quadro, logo à esquerda do centro, está rodeado de vários alunos e discípulos.

Eis como Salviatti descreveu a verificação experimental de Galileu, em Duas Novas Ciências:

Tomou-se uma tábua de madeira, com cerca de 12 cúbitos de comprimento, meio cúbito de largura e três dedos de espessura; na sua face cortou-se um canal com pouco mais de um dedo de altura; feito o entalhe tão retilíneo quanto é possível, liso e polido, e tendo-se revestido o mesmo com pergaminho, também tão suave e polido quanto possível, fez-se rolar ao longo dele uma esfera pesada de bronze, perfeitamente redonda e de superfície suave. Colocado o conjunto numa posição inclinada, elevando-se uma das extremidades cerca de um ou dois cúbitos em relação à outra, fizemos rolar a bola, como dizia, ao longo do canal, anotando, da maneira que vamos descrever, o tempo necessário para a descida. A experiência foi repetida várias vezes, de modo a medir o tempo com uma precisão tal que a diferença entre os valores correspondentes a duas experiências nunca excedesse um décimo do batimento do pulso. Tendo realizado esta operação e tendo-nos assegurado da sua fiabilidade, fizemos rolar a esfera apenas um quarto do comprimento do canal; e tendo medido o tempo de descida, verificámos que era exatamente metade do primeiro. A experiência foi então repetida para outras distâncias, comparando o tempo de descida total com o de metade da descida, ou com o de dois terços, ou com o de três quartos ou, na verdade, com o de qualquer outra fração; em tais experiências, repetidas uma centena de vezes, verificámos sempre que os espaços percorridos estavam em relação uns com os outros tal como os quadrados dos tempos, e isto foi verdade para todas as inclinações do… canal ao longo do qual fizemos rolar a esfera…

Galileu junta uma grande quantidade de informação nestas linhas. Descreve o seu procedimento e o aparelho de modo suficientemente claro, para permitir a repetição da experiência por outros investigadores, se o quiserem. Indica que podem ser feitas medidas consistentes e, além disso, reafirma os dois resultados experimentais principais, que segundo ele suportam a sua hipótese sobre a queda livre. Examinemos cuidadosamente os resultados:

(a) Em primeiro lugar, descobriu que quando uma esfera rolava ao longo do plano inclinado fazendo um ângulo fixo com a horizontal, o quociente da distância percorrida pelo quadrado do tempo correspondente era sempre o mesmo. Por exemplo, se \({d_1}\), \({d_2}\) e \({d_3}\) representarem distâncias medidas a partir do mesmo ponto de partida no plano inclinado e se \({t_1}\), \({t_2}\) e \({t_3}\) forem os tempos correspondentes consumidos a rolar essas distâncias, então:

\[\frac{{{d_1}}}{{{t_1}^2}} = \frac{{{d_2}}}{{{t_2}^2}} = \frac{{{d_3}}}{{{t_3}^2}}\]

De uma maneira geral, para cada ângulo do plano inclinado, o valor de \(\frac{d}{{{t^2}}}\) era constante. Galileu não apresentou os seus resultados experimentais em pormenor, como se tomou hábito desde então. Todavia, a sua experiência foi repetida por outros, que obtiveram resultados em tudo semelhantes.

Desafio 6

(Esquerda) Aspecto geral do aparelho experimental. (Direita) Aparelho de medida do tempo.

Distância (pés) (1 pé = 30,5 cm)	Tempo (medido em mililitros de água)
15	90
13	84
10	72
7	62
5	52
3	40
1	23,5

A tabela regista os resultados de uma repetição da experiência de Galileu, na qual o ângulo de inclinação era de \(3,73^\circ \) (Thomas B. Settle, volume 133 da revista Science, págs. 19-23, 6 de janeiro de 1961). Nessa experiência foi utilizado um “relógio de água”, com reservatório mantido a nível constante.

Será que estes resultados comprovam realmente a conclusão de Galileu, de que \(\frac{d}{{{t^2}}}\) é constante?

(b) A segunda descoberta experimental de Galileu diz respeito ao que acontece quando o ângulo do plano inclinado é feito variar. Ele descobriu que, sempre que o ângulo era variado, o quociente \(\frac{d}{{{t^2}}}\) tomava um novo valor, embora para cada ângulo, qualquer que este fosse, permanecesse constante e independente da distância percorrida. Galileu confirmou este facto, repetindo a experiência “uma centena de vezes” para cada um dos vários ângulos. Depois de confirmar que o quociente \(\frac{d}{{{t^2}}}\) era constante para cada um dos ângulos para os quais as medidas de \(t\) podiam ser feitas convenientemente, Galileu estava pronto a efetuar uma extrapolação. Concluiu que a razão \(\frac{d}{{{t^2}}}\) permanece constante mesmo para grandes ângulos, para os quais o movimento esfera é demasiado rápido para que possam ser efetuadas medidas precisas de \(t\). Por fim, Galileu raciocinou que, no caso particular de o ângulo ser de \(90^\circ \), a esfera mover-se-ia diretamente para baixo – tal como no caso de um objeto em queda. Pelo seu raciocínio, \(\frac{d}{{{t^2}}}\) seria ainda constante neste caso extremo (embora ele não pudesse determinar o valor do quociente).

Confirmado que a constância de \(\frac{d}{{{t^2}}}\) era característica da aceleração uniforme, Galileu pôde finalmente concluir que o movimento de queda livre era um movimento uniformemente acelerado.

Questão 9

Ao verificar a sua hipótese de que o movimento de queda livre é uniformemente acelerado, Galileu admitiu a suposição não provada de que (indique uma ou mais):

1. \(\frac{d}{{{t^2}}}\) é constante.
2. a aceleração tem o mesmo valor para todos os ângulos de inclinação do plano.
3. os resultados para pequenos ângulos podem ser extrapolados para os grandes ângulos.
4. a velocidade da esfera é constante enquanto ela rola.
5. a aceleração da esfera é constante se a aceleração na queda livre o for, embora o valor das duas constantes não seja o mesmo.

Questão 10

Qual das afirmações seguintes resume o trabalho de Galileu sobre a queda livre, quando o atrito do ar é desprezável?

1. Galileu provou que todos os objetos caem exatamente à mesma velocidade, independentemente do seu peso.
2. Galileu provou que para qualquer objeto em queda livre o quociente \(\frac{d}{{{t^2}}}\) é constante, para qualquer altura de queda.
3. Galileu provou que um objeto rolando ao longo de um plano inclinado acelera da mesma maneira (embora mais lentamente), que o mesmo objeto em queda livre.
4. Galileu provou indiretamente a sua suposição de que a velocidade de um objeto, caindo livremente a partir do repouso, é proporcional ao tempo decorrido.
5. Galileu tornou claro que não seria possível resolver definitivamente o problema da queda livre sem se conseguir produzir vácuo.

Dúvidas sobre o procedimento de Galileu

Todo este processo de raciocínio e experimentação parece longo e complexo, numa primeira leitura, e será lógico que surjam algumas dúvidas. Por exemplo, a medição de tempo efetuada por Galileu seria suficientemente precisa para verificar a constância de \(\frac{d}{{{t^2}}}\), mesmo para o caso de um objeto a mover-se lentamente? Galileu tenta, no seu livro, responder a possíveis críticas, fornecendo uma descrição pormenorizada da sua montagem experimental (convidando assim qualquer cético a realizar a experiência por si mesmo):

Para a medição do tempo, utilizámos um grande reservatório de água, colocado numa posição elevada; no fundo deste reservatório estava soldado um tubo de pequeno diâmetro que fornecia um fino jacto de água, que recolhemos numa pequena taça durante o tempo de cada descida, fosse para todo o comprimento do canal, fosse para qualquer fração dele; a água assim recolhida era pesada numa balança muito precisa; as diferenças e os quocientes destes pesos davam-nos as diferenças e os quocientes dos intervalos de tempo, e isto com uma precisão tal que, embora a operação fosse repetida muitas e muitas vezes, não houve qualquer discrepância apreciável nos resultados.

O relógio de água descrito por Galileu não foi inventado por ele. Na verdade, há referências a relógios de água na China, desde o século VI A. C. e, provavelmente, já tinham sido usados mesmo antes disso, na Babilónia e na Índia. No princípio do século XVI, um bom relógio de água era o mais preciso dos instrumentos conhecidos para a medição de pequenos intervalos de tempo. Assim foi até pouco depois da morte de Galileu, quando o trabalho de Christian Huygens e de outros levaram a relógios de pêndulo práticos de usar. Os resultados de Galileu sobre o movimento no plano inclinado foram plenamente confirmados mais tarde, com o aparecimento de melhores relógios.

Outro ponto de argumentação sobre os resultados de Galileu está relacionado com a grande diferença existente entre a queda livre e o rolar que se verifica num plano pouco inclinado. Galileu não referiu a que ângulos efetuou a experiência. Todavia, como se poderá ver facilmente repetindo uma experiência semelhante, esses ângulos deverão ser bastante pequenos. À medida que o ângulo cresce também aumenta a velocidade da esfera, de tal modo que os tempos envolvidos se tornam rapidamente difíceis de medir. O maior ângulo utilizável, referido numa recente repetição da experiência de Galileu, foi apenas de \(6^\circ \). Não é provável que Galileu tivesse trabalhado com ângulos muito maiores. Isto significa que a extrapolação que é preciso fazer para se considerar a queda livre (ângulo de \(90^\circ \)) é muito grande, talvez demasiado grande para uma pessoa cautelosa – ou para alguém que não esteja já convencido pelo argumento de Galileu.

Há ainda uma outra razão para criticar os resultados de Galileu: é que, quando o ângulo do plano inclinado é aumentado, atinge-se um ponto em que a esfera começa a deslizar e a rolar, simultaneamente. Esta diferença de comportamento poderia significar que o movimento é muito diferente a grandes ângulos de inclinação. Galileu não discute estes casos. É surpreendente que ele, aparentemente, não tenha repetido a experiência com blocos que apenas deslizassem e não rolassem ao longo do plano inclinado. Se o tivesse feito teria verificado que a razão \(\frac{d}{{{t^2}}}\) é também constante para o movimento deslizante acelerado, embora tenha um valor distinto do valor correspondente a uma esfera rolando num plano com a mesma inclinação.

Questão 11

Quais das afirmações seguintes podem ser encaradas como razões básicas para duvidar da validade do procedimento de Galileu?

1. A sua medida de tempo não era suficientemente precisa.
2. Galileu utilizou ângulos de inclinação demasiado grandes.
3. Não é claro que os seus resultados sejam aplicáveis quando a esfera rola e desliza, simultaneamente.
4. Na experiência descrita por Galileu a esfera rolava e, consequentemente, não poderia extrapolar os seus resultados para o caso da queda livre, em que a esfera não rolaria.
5. \(\frac{d}{{{t^2}}}\) não era constante para um objeto que deslizasse.

Consequências do trabalho de Galileu sobre o movimento

Tudo indica que Galileu se apercebeu de que não é possível obter o valor numérico correto da aceleração de um corpo em queda livre apenas pela extrapolação dos resultados obtidos para ângulos de inclinação crescentes. Na verdade ele não tentou calcular o valor numérico da aceleração dos corpos em queda livre. Mas, para os seus propósitos, era suficiente provar a hipótese de que a aceleração é constante para qualquer corpo, rolando ou caindo. Esta é a primeira consequência do trabalho de Galileu, que foi completamente verificada em todas as experiências que posteriormente foram efetuadas.

Em segundo lugar, se esferas de diferentes pesos fossem postas a rolar ao longo de um plano inclinado, fixo num determinado ângulo, verificar-se-ia que todas elas tinham a mesma aceleração. Não se conhece toda a evidência experimental que Galileu possuía para extrair esta conclusão, mas ela é consistente com as observações relativas aos corpos em queda livre. E é também consistente com a sua “experiência pensada”, pela qual Galileu argumentou que corpos de pesos diferentes cairiam da mesma maneira (à parte os efeitos comparativamente pequenos da resistência do ar). Os seus resultados forneceram uma refutação decisiva da teoria do movimento de Aristóteles.

Em terceiro lugar, Galileu desenvolveu uma teoria matemática do movimento acelerado, a partir da qual podiam ser obtidas outras previsões sobre o movimento. Mencionar-se-á apenas um exemplo. Recorde-se que Galileu preferiu definir aceleração como a taxa de variação da velocidade com o tempo. Verificou então experimentalmente que os corpos em queda livre sofrem iguais variações de velocidade em iguais intervalos de tempo e não em iguais intervalos de espaço, como alguns tinham suposto. Note-se que a ideia de alguma coisa que variasse de iguais quantidades em iguais distâncias também teria uma notável simplicidade. Poder-se-á perguntar se não haverá alguma coisa que varie desta maneira durante a aceleração uniforme. De facto assim é. Das conclusões já tiradas segue-se, sem necessidade de quaisquer outras hipóteses que durante a aceleração uniforme a partir do repouso, o quadrado da velocidade varia de iguais acréscimos em iguais intervalos de espaço. Existe uma equação matemática que exprime este resultado: se \({v_{inicial}} = 0\) e \(a = constante\), então:

\[{v^2}_{final} = 2a{d_{final}}\]

Por palavras: se um objeto parte do repouso e se move com aceleração uniforme, então o quadrado da sua velocidade em qualquer ponto é igual ao dobro do produto da sua aceleração pela distância percorrida. Estas consequências do trabalho de Galileu, embora importantes para o desenvolvimento da física, dificilmente provocariam por si só uma revolução na ciência. Nenhum escolástico do século XVII abandonaria a sua fé na cosmologia aristotélica apenas porque algumas das suas previsões tivessem sido refutadas, no caso de corpos a rolarem ou a caírem. Mas o trabalho de Galileu sobre o movimento em queda livre ajudou a preparar o caminho para o desenvolvimento de uma nova física e, na verdade, para uma nova cosmologia, lançando as sementes da dúvida sobre as suposições fundamentais da ciência aristotélica. Por exemplo, quando se reconheceu que todos os corpos caem com igual aceleração se o atrito do ar for desprezável, toda a explicação aristotélica do movimento de queda se desmoronou.

O problema científico mais crucial durante a vida de Galileu não dizia respeito à mecânica mas sim à astronomia. A questão central da cosmologia residia na interrogação sobre se seria a Terra ou o Sol que estaria no centro do universo. Galileu sustentava o ponto de vista de que a Terra e outros planetas se moviam em torno do Sol, o que era algo diametralmente oposto ao afirmado pela cosmologia aristotélica. Mas suportar um tal ponto de vista exigia uma teoria física que explicasse como e porquê se movia a própria Terra. O trabalho de Galileu sobre a queda livre e sobre outros movimentos foi exatamente o que era necessário para começar a construir uma tal teoria. O efeito total do seu trabalho, todavia, não se verificou até que fosse combinado com as investigações realizadas pelo cientista inglês Isaac Newton sobre as forças e o movimento. Mas, tal como Newton reconheceu, Galileu foi o pioneiro na abertura dessa senda.

O trabalho de Galileu sobre o movimento introduziu um método novo e importante para a investigação científica, método tão aplicável hoje como naquele tempo. A base deste procedimento é um ciclo, repetido tantas vezes quantas as necessárias, inteiramente ou em parte, até que uma teoria satisfatória tenha surgido: observação geral → hipótese → análise matemática ou dedução a partir da hipótese → verificação experimental da dedução → modificação da hipótese à luz da experiência, e assim por diante.

Enquanto que os passos matemáticos são muitas vezes determinados principalmente pela “lógica pura”, o mesmo não se dá para os outros passos do processo. Em primeiro lugar, a hipótese pode ser atingida por uma série de caminhos. Uma nova hipótese pode surgir de um palpite inspirado baseado no conhecimento geral dos factos experimentais ou do desejo de proposições matematicamente simples, ou da modificação da hipótese que falhou anteriormente. Além do mais, não há regras gerais sobre qual o acordo que deverá existir entre os dados experimentais e as previsões teóricas. Em alguns campos da ciência espera-se que as teorias forneçam um acordo melhor do que um milésimo de um por cento; noutros campos, ou no estado preliminar de qualquer novo trabalho, pode-se ficar satisfeito ao encontrar uma teoria capaz de fazer previsões com um erro de “apenas 50%”. Note-se finalmente que, embora tenha um papel importante no processo, a experiência não é o único nem sequer o elemento principal. Pelo contrário, a experiência manifesta a sua utilidade apenas conjuntamente com os outros passos do processo.

O ciclo geral de observação, hipótese, dedução, verificação, modificação, etc., tão habilmente demonstrado por Galileu no século XVII, é hoje um facto trivial no trabalho científico. Embora não exista algo a que se possa chamar o método científico, o ciclo referido está quase sempre presente, sob alguma forma, na investigação científica. E não é usado em louvor a Galileu, como figura proeminente da história da ciência, mas devido à sua eficácia na maioria dos casos em que é empregue.

O próprio Galileu estava consciente do valor dos resultados e dos métodos do seu trabalho pioneiro. Assim, concluiu o estudo do movimento acelerado pelas seguintes palavras, proferidas pelas personagens do seu livro:

Salviatti: …podemos dizer que a porta está agora aberta, pela primeira vez, a um novo método, cheio de numerosos e belos resultados que, nos anos vindouros, atrairá a atenção de outros homens.

Sagredo: Acredito realmente que… os princípios apresentados neste pequeno tratado, quando abordados por espíritos especulativos, conduzirão a outro resultado ainda mais notável; e assim é de supor devido à nobreza do assunto, que é superior à de qualquer outro na natureza.

Durante este longo e laborioso dia, apreciei estes teoremas simples mais ainda do que as suas provas, muitas das quais, para completa compreensão, necessitariam de mais do que uma hora cada; se tiveres a gentileza de me confiar o livro, relerei este estudo durante as minhas horas de ócio, depois de termos lido a parte restante, relativa ao movimento dos projéteis; e isto, se estiveres de acordo, fá-lo-emos amanhã.

Salviatti: Não faltarei.

Questão 12

Das alíneas seguintes, quais as que não resultaram do trabalho de Galileu sobre o movimento?

1. O valor numérico correto da aceleração na queda livre foi obtido pela extrapolação dos resultados para ângulos cada vez maiores.
2. Se um objeto parte do repouso e se move com aceleração uniforme, \(a\), ao longo de uma distância, \(d\), então o quadrado da sua velocidade será proporcional a \(d\).
3. Os corpos que rolam ao longo de um plano inclinado são uniformemente acelerados (de acordo com a definição de aceleração dada por Galileu).

Questão 13

Obtenha a expressão \({v^2} = 2ad\) a partir das equações \(d = \frac{1}{2}a{t^2}\) e \(v = a\,t\).

De seguida, mostre que uma bola lançada verticalmente (ao nível do solo) de baixo para cima, com uma velocidade inicial \(v\), sobe até uma altura máxima \(h = \frac{{{v^2}}}{{2g}}\) (\(g\) é o valor da aceleração gravítica).

• Adaptado de PROJECTO FÍSICA – UNIDADE 1 Conceitos de Movimento,
  Fundação Calouste Gulbenkian, 1980, pág. 39 – 62

Soluções dos Desafios

Desafio 1

Houve muitos trabalhos que antecederam o de Galileu, no que diz respeito ao movimento. No período de 1280 a 1340, matemáticos de Merton College, em Oxford, meditaram cuidadosamente sobre diversas grandezas que variavam com o tempo. Um teorema geral, conhecido por “Teorema de Merton” ou “Regra da Velocidade Média”, resume um resultado que se mostrou de grande importância.

Este teorema, que pode ser aplicado ao movimento com aceleração uniforme, é expresso em termos simples da seguinte maneira: a distância percorrida por um objeto durante um certo tempo, durante o qual a sua velocidade varia uniformemente, é igual à distância que o mesmo objeto percorreria se estivesse animado com velocidade uniforme de valor igual à velocidade média durante esse tempo.

1. Mostre que a distância total percorrida a velocidade constante pode ser expressa pela área abaixo da linha desenhada num gráfico da velocidade em função do tempo (A “área” deve ser calculada em unidades de velocidade x unidades de tempo).
2. Suponha que esta área representa a distância total percorrida, mesmo quando a velocidade não é constante.
   Desenhe um gráfico da velocidade em função do tempo, para uma velocidade que cresça uniformemente, e trace a área abaixo da linha desenhada.
3. Prove o “Teorema de Merton”, mostrando que a área obtida é igual à área abaixo de uma linha de velocidade constante, em que esta seja igual à velocidade média.

Resolução

Consideremos a representação gráfica apresentada na figura à direita, relativa ao movimento de um objeto animado de velocidade constante \({v_c}\).

No intervalo de tempo \(\left[ {{t_1},\;{t_2}} \right]\), a distância percorrida pelo objeto é expressa por \(d = {v_c} \times \left( {{t_2} – {t_1}} \right)\).

Ora, no intervalo considerado, a área limitada pelo gráfico de \(v\) e o eixo horizontal é dada por:\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{\left[ {ABEF} \right]}}}& = &{\overline {AB}  \times \overline {AF} }\\{}& = &{{v_c} \times \left( {{t_2} – {t_1}} \right)}\end{array}\]

Logo, a distância total percorrida por um objeto a velocidade constante no intervalo \(\left[ {{t_1},\;{t_2}} \right]\) pode ser expressa pela área abaixo da linha desenhada num gráfico da velocidade em função do tempo: \(d = {A_{\left[ {ABEF} \right]}}\).

Admitamos ainda que e a área abaixo do gráfico da nova função \(v\) e o eixo horizontal continua a representar a distância total percorrida no mesmo intervalo de tempo \(\left[ {{t_1},\;{t_2}} \right]\).

Agora, no mesmo intervalo de tempo \(\left[ {{t_1},\;{t_2}} \right]\), a área abaixo do gráfico da nova função \(v\) e o eixo horizontal é dada por:\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{\left[ {ABCD} \right]}}}& = &{\frac{{\overline {AD}  + \overline {BC} }}{2} \times \overline {AB} }\\{}& = &{\frac{{{v_1} + {v_2}}}{2} \times \left( {{t_2} – {t_1}} \right)}\\{}& = &{{v_m} \times \left( {{t_2} – {t_1}} \right)}\end{array}\]onde \({v_m} = \frac{{{v_1} + {v_2}}}{2}\) é a velocidade média do objeto no intervalo \(\left[ {{t_1},\;{t_2}} \right]\).

Ora, a área do trapézio [ABCD] é igual à área do retângulo [ABEF] (selecione “Mostrar velocidade média”) se e só se os triângulos [DFM] e [CEM] forem congruentes, o que implica que M seja o ponto médio do segmento de reta [CD].

Assim, terá de ser \(M\left( {\frac{{{t_1} + {t_2}}}{2},\;\frac{{{v_1} + {v_2}}}{2}} \right)\) e, portanto, conclui-se que \(\frac{{{v_1} + {v_2}}}{2} = {v_c} = {v_m}\), o que comprova o “Teorema de Merton”.

Desafio 2

Em Duas Novas Ciências, afirma Galileu: “…tanto quanto se saiba ainda ninguém tinha verificado que as distâncias percorridas por um corpo em queda a partir do repouso, em intervalos de tempo iguais, apresentam, umas para as outras, os mesmos quocientes que os números ímpares começando na unidade (ou seja, 1: 3: 5: 7…) …”.

A área abaixo do gráfico da velocidade em função do tempo representa a distância percorrida durante um dado intervalo de tempo. Utilizando esse facto, prove que as distâncias de queda de um objeto, em sucessivos intervalos de tempo, estão entre si como os quocientes dos números ímpares.

Resolução

De acordo com o que foi visto na resolução do Desafio 1, a distância, \(d\), percorrida pelo corpo, em queda a partir do repouso, no intervalo de tempo \(\left[ {0,\;{t_1}} \right]\) pode ser expressa pela área do triângulo retângulo [OAA’]:\[d = {A_{\left[ {OAA’} \right]}} = \frac{{{v_1} – 0}}{2} \times {t_1} = \frac{{{v_1}}}{2} \times {t_1}\]

Nos intervalos subsequentes, assinalados na representação gráfica, as distâncias percorridas em cada um deles pode também ser expressa pela área dos correspondentes trapézios retângulos:\[\begin{array}{*{20}{l}}{{d_{\left[ {{t_1},\;2{t_1}} \right]}} = {A_{\left[ {ABB’A’} \right]}} = \frac{{2{v_1} + {v_1}}}{2} \times \left( {2{t_1} – {t_1}} \right) = 3 \times \frac{{{v_1}}}{2} \times {t_1} = 3d}\\{{d_{\left[ {2{t_1},\;3{t_1}} \right]}} = {A_{\left[ {BCC’B’} \right]}} = \frac{{3{v_1} + 2{v_1}}}{2} \times \left( {3{t_1} – 2{t_1}} \right) = 5 \times \frac{{{v_1}}}{2} \times {t_1} = 5d}\\{{d_{\left[ {3{t_1},\;4{t_1}} \right]}} = {A_{\left[ {CDD’C’} \right]}} = \frac{{4{v_1} + 3{v_1}}}{2} \times \left( {4{t_1} – 3{t_1}} \right) = 7 \times \frac{{{v_1}}}{2} \times {t_1} = 7d}\end{array}\]

Desprezando a ação do ar, um objeto em queda livre, a partir do repouso, apresenta deslocamentos escalares sucessivos (em intervalos de tempo iguais) diretamente proporcionais aos números ímpares.

Generalizando, para o intervalo \(\left[ {\left( {n – 1} \right){t_1},\;n{t_1}} \right]\), com \(n \in \mathbb{N}\), temos:

\[{d_{\left[ {\left( {n – 1} \right){t_1},\;n{t_1}} \right]}} = \frac{{n{v_1} + \left( {n – 1} \right){v_1}}}{2} \times \left( {n{t_1} – \left( {n – 1} \right){t_1}} \right) = \left( {2n – 1} \right) \times \frac{{{v_1}}}{2} \times {t_1} = \left( {2n – 1} \right)d\]

Em síntese, temos:

\[\begin{array}{*{20}{c}}{Intervalo\;de\;tempo}&{Distância\;percorrida}\\\hline{\left[ {0,\;{t_1}} \right]}&d\\{\left[ {{t_1},\;2{t_1}} \right]}&{3d}\\{\left[ {2{t_1},\;3{t_1}} \right]}&{5d}\\{\left[ {3{t_1},\;4{t_1}} \right]}&{7d}\\ \ldots & \ldots \\{\left[ {\left( {n – 1} \right){t_1},\;n{t_1}} \right]}&{\left( {2n – 1} \right)d}\end{array}\]

Assim, tal como a figura sugere (atente na decomposição dos trapézios em trângulos retângulos congruentes [com área \(d\)]), conclui-se:

…as distâncias percorridas por um corpo em queda a partir do repouso, em intervalos de tempo iguais, apresentam, umas para as outras, os mesmos quocientes que os números ímpares começando na unidade (ou seja, 1: 3: 5: 7…) …

Desafio 3

Mostre que a expressão \({v_{méd}} = \frac{{{v_{inicial}} + {v_{final}}}}{2}\) é equivalente à “Regra de Merton”.

Resolução

A distância percorrida por um objeto durante um certo tempo, durante o qual a sua velocidade varia uniformemente, é igual à distância que o mesmo objeto percorreria se estivesse animado com velocidade uniforme de valor igual à velocidade média durante esse tempo.

Consideremos a representação gráfica apresentada na figura à direita, relativa ao movimento de um objeto animado com velocidade constante \({v_c}\) e de outro animado com velocidade que cresce uniformemente ao longo do tempo, os quais percorrem a mesma distância no intervalo \(\left[ {{t_1},\;{t_2}} \right]\).

De acordo com o que já foi apurado na resolução do Desafio 1, no intervalo de tempo \(\left[ {{t_1},\;{t_2}} \right]\), a distância percorrida pelo objeto animado com velocidade constante \({v_c}\) é expressa por \[d = {A_{\left[ {ABEF} \right]}} = {v_c} \times \left( {{t_2} – {t_1}} \right)\]

No no mesmo intervalo de tempo \(\left[ {{t_1},\;{t_2}} \right]\), o objeto animado com velocidade que cresce uniformemente ao longo do tempo pode ser expressa por \[\begin{array}{*{20}{l}}{d = {A_{\left[ {ABCD} \right]}}}& = &{\frac{{\overline {AD}  + \overline {BC} }}{2} \times \overline {AB} }\\{}& = &{\frac{{{v_1} + {v_2}}}{2} \times \left( {{t_2} – {t_1}} \right)}\end{array}\]

Das duas igualdades anteriores, resulta:\[\frac{{{v_1} + {v_2}}}{2} = {v_c}\]

Ora, \({{v_1}}\) e \({{v_2}}\) são, respetivamente, a velocidade inicial e a velocidade final, no intervalo considerado, do objeto animado com velocidade que cresce uniformemente ao longo do tempo.

Assim, conclui-se:\[\frac{{{v_{inicial}} + {v_{final}}}}{2} = {v_c} = {v_{média}}\]

O que é equivalente ao “Teorema de Merton”.

Desafio 4

Para qualquer quantidade que varie uniformemente, o valor médio é igual a metade da soma do seu valor inicial com o seu valor final. Verifique esta expressão relativamente a qualquer grandeza – por exemplo:

1. Qual é a idade média de um grupo de pessoas que têm, cada uma, as idades de 15, 16, 17, 18 e 19 anos?
2. Qual é o salário médio de uma pessoa, ao longo de cinco anos, se aquele crescer constantemente desde 50000 € por ano, no início, até 90000 € por ano, no fim?

Demonstre esta propriedade usando o conceito de progressão aritmética.
Tenha em consideração que a soma dos primeiros \(n\) termos de uma progressão aritmética \(\left( {{u_n}} \right)\) é dada por \({S_n} = \frac{{{u_1} + {u_n}}}{2} \times n\).

Resolução

A idade média do grupo de pessoas é \(\overline x  = \frac{{15 + 16 + 17 + 18 + 19}}{5} = \frac{{85}}{5} = 17\) anos.

A quantidade em causa varia uniformemente: \[\begin{array}{*{20}{c}}{15}&{\underbrace  \to _{ + 1}}&{16}&{\underbrace  \to _{ + 1}}&{17}&{\underbrace  \to _{ + 1}}&{18}&{\underbrace  \to _{ + 1}}&{19}\end{array}\]

Usando a expressão, vem \(\overline x  = \frac{{15 + 19}}{2} = 17\) anos.

O salário médio é \(\overline x  = \frac{{50000 + 60000 + 7000 + 80000 + 90000}}{5} = \frac{{350000}}{5} = 70000\) euros por ano.

A quantidade em causa varia uniformemente: \[\begin{array}{*{20}{c}}{50000}&{\underbrace  \to _{ + 10000}}&{60000}&{\underbrace  \to _{ + 10000}}&{70000}&{\underbrace  \to _{ + 10000}}&{80000}&{\underbrace  \to _{ + 10000}}&{90000}\end{array}\].

Usando a expressão, vem \(\overline x  = \frac{{50000 + 90000}}{2} = 70000\) euros por ano.

Se uma quantidade varia uniformemente, então os seus valores (ordenados) definem uma sequência constituída pelos \(n\) primeiros termos de uma progressão aritmética.

Seja \({x_1},\;{x_2},\;{x_3},\; \ldots ,\;{x_n}\) essa sequência dos \(n\) primeiros termos de uma dada progressão aritmética.

Assim, a média desses \(n\) valores é:\[\overline x  = \frac{{{S_n}}}{n} = \frac{{\frac{{{x_1} + {x_n}}}{2} \times n}}{n} = \frac{{{x_1} + {x_n}}}{2} = \frac{{{x_{inicial}} + {x_{final}}}}{2}\]

Desafio 5

John Paul Stapp pilota o trenó a foguete na Base Aérea Edwards

Numa experiência realizada no Centro de Desenvolvimento da Base Aérea de Holloman, em Alamogordo, Novo México, em 19 de março de 1954, o Tenente-coronel John Paul Stapp, instalado a bordo de um trenó munido de um motor a jacto, alcançou a velocidade de 632 milhas/hora (283 m/s). Correndo sobre carris e impulsionado por nove foguetes, o trenó atingiu a sua velocidade máxima em 5 segundos. Stapp resistiu em seguida a uma aceleração máxima de 22 g, ao abrandar o seu movimento até ao repouso num intervalo de tempo de 1,5 segundos (1 g é uma aceleração igual em intensidade à que é devida à gravidade; 22 g significa, portanto, uma aceleração de \(22 \times {a_g}\)).

1. Calcule a aceleração média durante a primeira parte do percurso, isto é, aquela que se estende desde o repouso até ao atingir da velocidade máxima.
2. Qual a distância percorrida pelo trenó, antes de atingir a sua velocidade máxima?
3. Determine a aceleração média durante a travagem.

Resolução

A aceleração média durante a primeira parte do percurso é \({a_{(I)méd}} = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} = \frac{{283 – 0}}{{5 – 0}} = 56,6\;m/{s^2}\).

Até atingir a sua velocidade máxima, o trenó percorreu uma distância de \(\Delta d = {v_{méd}} \times \Delta t = \frac{{283 – 0}}{2} \times \left( {5 – 0} \right) = 707,5\;m\).
(ou \(\Delta d = \frac{1}{2}{a_{(I)méd}} \times {\left( {\Delta t} \right)^2} = \frac{1}{2} \times 56,6 \times {\left( {5 – 0} \right)^2} = 707,5\;m\))

Durante a travagem, a aceleração média foi de \({a_{(II)méd}} = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} = \frac{{0 – 283}}{{1,5}} \approx  – 188,7\;m/{s^2}\).

Desafio 6

(Esquerda) Aspecto geral do aparelho experimental. (Direita) Aparelho de medida do tempo.

A tabela regista os resultados de uma repetição da experiência de Galileu, na qual o ângulo de inclinação era de \(3,73^\circ \) (Thomas B. Settle, volume 133 da revista Science, págs. 19-23, 6 de janeiro de 1961). Nessa experiência foi utilizado um “relógio de água”, com reservatório mantido a nível constante.

Será que estes resultados comprovam realmente a conclusão de Galileu, de que \(\frac{d}{{{t^2}}}\) é constante?

Resolução

Os quocientes \(\frac{d}{{{t^2}}}\) foram acrescentados à tabela.

Ao verificar a sua hipótese de que o movimento de queda livre é uniformemente acelerado, Galileu admitiu a suposição não provada de que os resultados para pequenos ângulos podem ser extrapolados para os grandes ângulos e que a aceleração da esfera é constante se a aceleração na queda livre o for, embora o valor das duas constantes não seja o mesmo.

Por isso, para os seus propósitos, era suficiente provar a hipótese de que a aceleração é constante para qualquer corpo, rolando ou caindo. Esta é a primeira consequência do trabalho de Galileu que, de forma apenas particular, é verificado pelos resultados parcelares desta experiência, bem como por os de todas as experiências bem-sucedidas já efetuadas.

Mais relevante do que a elevada constância dos resultados de experiências feitas, quer se Galileu realizou ou não a experiência que descreveu, é o método novo introduzido por si, tão importante para a investigação científica e que tem permanecido devido à sua eficácia na maioria dos casos em que é empregue.

Apresenta-se seguidamente a conclusão de Thomas B. Settle a propósito da sua repetição da experiência de Galileu, descrita no artigo “An Experiment in the History of Science – With a simple but ingenius device Galileo could obtain relatively precise time measurements”, publicado no volume 133 da revista Science, págs. 19-23, 6 de janeiro de 1961.

Apresenta-se ainda a crítica de A. C. Higgins (Associate Professor (Emeritus), Sociology of Science, University at Albany) ao artigo de Thomas B. Settle.