O dinheiro da Salomé e da Inês

Equações literais e sistemas: Matematicamente Falando 8 - Pág. 196 Tarefa 7

by AMMA · Published 15 de Maio de 2023 · Updated 16 de Maio de 2023

Enunciado

Designando por x o dinheiro que a Salomé tem na carteira e por y o da Inês, traduz as afirmações através de duas equações.
Representa, no mesmo referencial, as funções afins definidas por \(y = – \frac{1}{2}x + 10\) e \(y = 2x – 10\), e marca o ponto I que corresponde à sua interseção.
Indica, a partir das representações gráficas anteriores, quais são as coordenadas do ponto I.
O que representam essas coordenadas?
Há alguma relação entre o que a Salomé e a Inês disseram e os gráficos que desenhaste?
Explica a tua resposta.
Que dinheiro tem a Inês? E a Salomé?

Resolução

Designando por:
x: o dinheiro (em euros) que a Salomé tem na carteira;
y: o dinheiro (em euros) da Inês;
podemos traduz as suas afirmações através das duas equações seguintes:

Jovem	Afirmação	Equação
Salomé	Se adicionar o dinheiro que tenho na carteira ao dobro do que a Inês possui na dela, obtenho 20 €.	\(x + 2y = 20\)
Inês	Se retirar o dinheiro que tenho ao dobro do que tem a Salomé, fico com 10 €.	\(2x – y = 10\)

No referencial abaixo, estão representadas as funções afins definidas por \(y = – \frac{1}{2}x + 10\) e \(y = 2x – 10\), bem como está marcado o ponto I que corresponde à sua interseção.
\[\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}x&{y = – \frac{1}{2}x + 10}&{{\rm{Ponto}}}\\\hline0&{10}&{A\left( {0,10} \right)}\\{20}&0&{B\left( {20,0} \right)}\end{array}}&{}&{}&{\begin{array}{*{20}{c}}x&{y = 2x – 10}&{{\rm{Ponto}}}\\\hline0&{ – 10}&{C\left( {0, – 10} \right)}\\{10}&{10}&{D\left( {10,10} \right)}\end{array}}\end{array}\]
De acordo com as representações gráficas anteriores, as coordenadas do ponto I são \(\left( {8,6} \right)\).
Essas coordenadas representam a solução comum das equações das duas retas, o que está confirmado seguidamente, pela obtenção de uma afirmação verdadeira resultante de se ter substituído em ambas as equações as variáveis x e y pelas coordenadas do ponto I:
\[\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6 = – \frac{1}{2} \times 8 + 10}\\{6 = 2 \times 8 – 10}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6 = 6}\\{6 = 6}\end{array}} \right.}\end{array}\]
Sim, há uma relação entre o que a Salomé e a Inês disseram e os gráficos que foram desenhados acima. Com efeito, as duas equações resultantes das afirmações das jovens são equivalentes às equações utilizadas na representação gráfica conjunta:
\[\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y = 20}\\{2x – y = 10}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y = – x + 20}\\{ – y = – 2x + 10}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = – \frac{1}{2}x + 10}\\{y = 2x – 10}\end{array}} \right.}\end{array}\]
A Inês tem 6 € e a Salomé tem 8 €.