Uma pirâmide quadrangular
Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 25 Ex. 4
Enunciado
A área da base de uma pirâmide quadrangular regular é igual a 25 cm2.
A altura de cada face lateral é 4 cm e a altura da pirâmide é, aproximadamente, 3,1 cm.
Determina:
- o volume da pirâmide;
- a área da superfície da pirâmide.
Resolução
Comecemos por determinar a altura da pirâmide. No espaço e por aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [OEV[, temos:
\[\overline {OV} = \sqrt {{{\overline {EV} }^2} – {{\overline {OE} }^2}} = \sqrt {{4^2} – {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{39}}{4}} = \frac{{\sqrt {39} }}{2}\]
Portanto, \(\overline {OV} = \frac{{\sqrt {39} }}{2} \approx 3,1\) cm, como indicado no enunciado.
- A pirâmide tem, aproximadamente, 26,0 cm3 de volume:
\[\begin{array}{*{20}{l}}V& = &{\frac{1}{3} \times \left( {\overline {AB} \times \overline {BC} } \right) \times \overline {OV} }\\{}& = &{\frac{1}{3} \times \left( {5 \times 5} \right) \times \frac{{\sqrt {39} }}{2}}\\{}& = &{\frac{{25\sqrt {39} }}{6}}\\{}& \approx &{26,0}\end{array}\] - A área da superfície da pirâmide é 65 cm2:
\[{A_T} = \left( {\overline {AB} \times \overline {BC} } \right) + 4 \times \left( {\frac{{\overline {CD} \times \overline {VE} }}{2}} \right) = \left( {5 \times 5} \right) + 4 \times \left( {\frac{{5 \times 4}}{2}} \right) = 65\]
