À descoberta dos números

by AMMA · Published 10 de Março de 2023 · Updated 10 de Março de 2023

Enunciado

Lê o que diz o Miguel.
O Miguel pode ter pensado nos números \(3\) e \( – 2\)? Porquê?
Escreve dois números em que o Miguel possa ter pensado.
Escreve agora mais quatro pares de números nessa condições.
O que podes dizer sobre os números em que o Miguel pensou?
Explica a tua resposta.
Em que número pensou a Catarina? Explica a tua resposta.
O José e a Marta também quiseram entrar no jogo À descoberta dos números…

Resolução

O Miguel não pode ter pensado nos números \(3\) e \( – 2\), pois o produto desses números não é nulo.
O Miguel pode ter pensado nos números \(0\) e \( – 2\).
Mais quatro pares de números nessas condições: \(4\) e \(0\); \({ – 4}\) e \(0\); \(0\) e \({ – \pi }\); e \(0\) e \({\sqrt 3 }\).
Pelo menos um dos números em que o Miguel pensou terá de ser zero, pois um produto de dois números será nulo apenas se, pelo menos, um deles for nulo.
Se designarmos o número em que a Catarina pensou por \(x\), podemos equacionar a questão desta forma: \(\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\). Assim, podemos concluir que a Catarina terá pensado no número \(2\) ou no número \( – 3\).
O José e a Marta também quiseram entrar no jogo À descoberta dos números…

Designado por \(n\) o número mais pequeno em que o José pensou, podemos equacionar o problema como segue: \(n\left( {n + 6} \right) = 2n\).
Resolvendo a equação, podemos concluir que o José pensou em \(0\) e em \(6\), ou em \( – 4\) e em \(2\):
\[\begin{array}{*{20}{l}}{n\left( {n + 6} \right) = 2n}& \Leftrightarrow &{{n^2} + 6n – 2n = 0}\\{}& \Leftrightarrow &{{n^2} + 4n = 0}\\{}& \Leftrightarrow &{n\left( {n + 4} \right) = 0}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{n = 0}& \vee &{n = – 4}\end{array}}\end{array}\]
Designado por \(m\) o número referido pela Marta, podemos equacionar o problema como segue: \(3{m^2} – 75 = 0\).
Resolvendo a equação, podemos concluir que a Mariana se referiu ao número \(5\) ou ao número \( – 5\):
\[\begin{array}{*{20}{l}}{3{m^2} – 75 = 0}& \Leftrightarrow &{3{m^2} = 75}\\{}& \Leftrightarrow &{{m^2} = 25}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{m = 5}& \vee &{m = – 5}\end{array}}\end{array}\]