Resolve as equações
Monómios e polinómios: Matematicamente Falando 8 - Pág. 144 Tarefa 10
Enunciado
- Resolve as equações:
\(3{x^2} – 21 = 0\) \({x^2} + 4 = 0\) \({x^2} – 4 = 0\) \(16 + 4{x^2} = 0\) - Quando resolvemos uma equação do 2.º grau do tipo \(a{x^2} + c = 0\) (\(a \ne 0\)), encontramos sempre solução?
Se não, quando é que uma equação deste tipo não tem solução?
Resolução
- Resolvendo as equações, temos:
a) \(\begin{array}{*{20}{l}}{3{x^2} – 21 = 0}& \Leftrightarrow &{3{x^2} = 21}\\{}& \Leftrightarrow &{{x^2} = 7}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = – \sqrt 7 }& \vee &{x = \sqrt 7 }\end{array}}\end{array}\) A equação é possível.
\(S = \left\{ { – \sqrt 7 ,\sqrt 7 } \right\}\)b) \(\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 4 = 0}& \Leftrightarrow &{{x^2} = – 4}\\{}& \Leftrightarrow &{x \in \emptyset }\end{array}\) A equação é impossível.
\(S = \left\{ {} \right\}\)c) \(\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2}–4 = 0}& \Leftrightarrow &{{x^2} = 4}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 2}& \vee &{x = 2}\end{array}}\end{array}\) A equação é possível.
\(S = \left\{ { – 2,2} \right\}\)d) \(\begin{array}{*{20}{l}}{16 + 4{x^2} = 0}& \Leftrightarrow &{4{x^2} = – 16}\\{}& \Leftrightarrow &{{x^2} = – 4}\\{}& \Leftrightarrow &{x \in \emptyset }\end{array}\) A equação é impossível.
\(S = \left\{ {} \right\}\) - Quando resolvemos uma equação do 2.º grau do tipo \(a{x^2} + c = 0\) (\(a \ne 0\)), nem sempre encontramos solução. Com efeito:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{a{x^2} + c = 0}& \Leftrightarrow &{a{x^2} = – c}\\{}& \Leftrightarrow &{{x^2} = – \frac{c}{a}}\end{array}\]
Uma equação deste tipo não tem solução quando \(\frac{c}{a} > 0\), isto é, quando \(a\) e \(c\) são do mesmo sinal.
