Os comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo

Os comprimentos dos catetos de um retângulo são \(\overline {AB} = 3,6\) m e \(\overline {BC} = 4,8\) m.
Calcula o comprimento:

1. da hipotenusa [AC];

2. da altura [BH] relativa à hipotenusa;

3. dos segmentos de reta [AH] e [HC].

1. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [ABC], temos:
   \[\overline {AC} = \sqrt {{{\overline {AB} }^2} + {{\overline {BC} }^2}} = \sqrt {{{3,6}^2} + {{4,8}^2}} = \sqrt {12,96 + 23,04} = \sqrt {36} = 6\]
   Portanto, o comprimento da hipotenusa [AC] é 6 m.
   
   
2. Como os triângulos [ABH] e [ABC] são semelhantes (critério AA), então os comprimentos dos lados correspondentes são diretamente proporcionais (ver nota no final da página): \(\frac{{\overline {BH} }}{{\overline {BC} }} = \frac{{\overline {AB} }}{{\overline {AC} }} = \frac{{\overline {AH} }}{{\overline {AB} }}\).
   Tomando as duas primeiras razões e substituindo os valores conhecidos, vem:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\overline {BH} }}{{4,8}} = \frac{{3,6}}{6}}& \Leftrightarrow &{6 \times \overline {BH} = 3,6 \times 4,8}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {BH} = \frac{{3,6 \times 4,8}}{6}}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {BH} = 0,6 \times 4,8}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {BH} = 2,88}\end{array}\]
   Portanto, a altura [BH] relativa à hipotenusa tem 2,88 m de comprimento.
   
   
3. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [ABH], temos:
   \[\overline {AH} = \sqrt {{{\overline {AB} }^2} – {{\overline {BH} }^2}} = \sqrt {{{3,6}^2} – {{2,88}^2}} = \sqrt {12,96 – 8,2944} = \sqrt {4,6656} = 2,16\]
   Portanto, o comprimento do segmento de reta [AH] é 2,16 m.
   
   Finalmente, \(\overline {HC} = \overline {AC} – \overline {AH} = 6 – 2,16 = 3,84\) m.

Nota:

Sobre os lados correspondentes de dois triângulos semelhantes

Em cada par de triângulos semelhantes, os lados correspondentes, em cada um dos dois triângulos, são os lados que se opõem, em cada triângulo, aos ângulos que são geometricamente iguais. E esta seleção de lados acontece três vezes, pois há três pares de lados que se opõem a três pares de ângulos geometricamente iguais.

Para evitar erros, quer para obter maior facilidade na identificação desses lados correspondentes, será recomendável destacar os três triângulos retângulos da figura original e colocá-los em linha, orientados segundo o cateto maior, por exemplo: