Considera os números racionais
Números reais: Matematicamente Falando 8 - Pág. 17 Ex. 1
Enunciado
Considera os números racionais seguintes:
\[\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{12}}{{105}}}&{\rm{e}}&{\frac{{135}}{{300}}}\end{array}\]
- Indica qual destes números admite uma representação em dízima finita.
- Representa-os na forma de dízima finita ou infinita periódica.
Resolução
- Comecemos por determinar as formas irredutíveis das frações dadas:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{12}}{{105}} = \frac{{2 \times 2 \times 3}}{{3 \times 5 \times 7}} = \frac{{2 \times 2}}{{5 \times 7}} = \frac{4}{{35}}}\\{}\\{\frac{{135}}{{300}} = \frac{{3 \times 3 \times 3 \times 5}}{{2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5}} = \frac{{3 \times 3}}{{2 \times 2 \times 5}} = \frac{9}{{20}}}\end{array}\]
Das frações dadas, aquela que admite uma representação em dízima finita é \(\frac{{135}}{{300}}\), pois é a única que é equivalente a uma fração decimal, visto que, na forma irredutível, o seu denominador não tem na sua decomposição fatores primos diferentes de \(2\) e de \(5\). - Apresentam-se seguidamente os dois números racionais na forma de dízima infinita periódica e dízima finita, respetivamente:
\[\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{12}}{{105}} = \frac{4}{{35}} = 0,1\left( {142857} \right)}&{\rm{e}}&{\frac{{135}}{{300}} = \frac{9}{{20}} = \frac{{45}}{{100}} = 0,45}\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{4,}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&{}&{}&3&5&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\\hline{}&5&0&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{0,}&1&1&4&2&8&5&7&1&4\\{}&1&5&0&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&1&0&0&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&3&0&0&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&{}&2&0&0&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&{}&{}&2&5&0&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&{}&{}&{}&0&5&0&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&1&5&0&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&1&0&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\end{array}\]
