Representa na forma de fração
Números reais: Matematicamente Falando 8 - Pág. 17 Tarefa 7
Enunciado
Representa na forma de fração os números racionais dados pelas seguintes dízimas infinitas periódicas:
- \(3,\left( 4 \right)\)
- \(1,\left( {45} \right)\)
- \(7,226\left( {72} \right)\)
- \(0,5\left( 9 \right)\)
Resolução
- Designando a dízima por \(x\), vem: \(x = 3,\left( 4 \right)\).
Logo, multiplicando por \(10\) os dois membros da igualdade anterior, temos: \(10x = 34,\left( 4 \right)\).
Subtraindo, membro a membro, as duas equações anteriores, temos:
\[\begin{array}{*{20}{r}}{}&{10x}& = &{34,\left( 4 \right)}\\ – &x& = &{3,\left( 4 \right)}\\\hline{}&{9x}& = &{31\quad\;\,\,}\end{array}\]
Donde, \(x = \frac{{31}}{9}\).
Portanto, \(3,\left( 4 \right) = \frac{{31}}{9}\). - Designando a dízima por \(x\), vem: \(x = 1,\left( {45} \right)\).
Logo, multiplicando por \(100\) os dois membros da igualdade anterior, temos: \(100x = 145,\left( {45} \right)\).
Subtraindo, membro a membro, as duas equações anteriores, temos:
\[\begin{array}{*{20}{r}}{}&{100x}& = &{145,\left( {45} \right)}\\ – &x& = &{1,\left( {45} \right)}\\\hline{}&{99x}& = &{144\quad\;\;\;\;\,}\end{array}\]
Donde, \(x = \frac{{144}}{{99}} = \frac{{16}}{{11}}\).
Portanto, \(1,\left( {45} \right) = \frac{{16}}{{11}}\). - Designando a dízima por \(x\), vem: \(x = 7,226\left( {72} \right)\).
Logo, multiplicando por \(1000\) e por \(100000\) os dois membros da igualdade anterior, temos: \(1000x = 7226,\left( {72} \right)\) e \(100000x = 722672,\left( {72} \right)\), respetivamente.
Subtraindo, membro a membro, as duas equações anteriores, temos:
\[\begin{array}{*{20}{r}}{}&{100000x}& = &{722672,\left( {72} \right)}\\ – &{1000x}& = &{7226,\left( {72} \right)}\\\hline{}&{99000x}& = &{715446\quad\quad\,}\end{array}\]
Donde, \(x = \frac{{715446}}{{99000}} = \frac{{79494}}{{11000}} = \frac{{39747}}{{5500}}\).
Portanto, \(7,226\left( {72} \right) = \frac{{39747}}{{5500}}\). - Designando a dízima por \(x\), vem: \(x = 0,5\left( 9 \right)\).
Logo, multiplicando por \(10\) e por \(100\) os dois membros da igualdade anterior, temos: \(10x = 5,\left( 9 \right)\) e \(100x = 59,\left( 9 \right)\), respetivamente.
Subtraindo, membro a membro, as duas equações anteriores, temos:
\[\begin{array}{*{20}{r}}{}&{100x}& = &{59,\left( 9 \right)}\\ – &{10x}& = &{5,\left( 9 \right)}\\\hline{}&{90x}& = &{54\quad\;\;\,}\end{array}\]
Donde, \(x = \frac{{54}}{{90}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5} = 0,6\).
Portanto, \(0,5\left( 9 \right) = \frac{3}{5}\).
