Partes dos gráficos de duas funções e um retângulo
Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 125 Ex. 6
Enunciado
No referencial cartesiano da figura, estão representadas partes dos gráficos de duas funções, f e g, e um trapézio.
Sabe-se que:
- a função f é definida por \(f\left( x \right) = x\);
- a função g é definida por \(g\left( x \right) = 3{x^2}\);
- o quadrilátero [ABCD] é um retângulo;
- os pontos A e B pertencem ao eixo das abcissas;
- o ponto D pertence ao gráfico da função g;
- os pontos E e C pertencem ao gráfico da função f;
- os pontos A e E têm abcissa igual a 1.
- Determina a medida da área do trapézio [ABCE].
Mostra como chegaste à tua resposta.
- Qual das expressões seguintes define a função cujo gráfico é simétrico do gráfico da função g relativamente ao eixo das abcissas?
[A] \(\frac{1}{3}{x^2}\) [B] \( – \frac{1}{3}{x^2}\) [C] \(3{x^2}\) [D] \( – 3{x^2}\)
Resolução
No referencial cartesiano da figura, estão representadas partes dos gráficos de duas funções, f e g, e um trapézio.
Sabe-se que:
- a função f é definida por \(f\left( x \right) = x\);
- a função g é definida por \(g\left( x \right) = 3{x^2}\);
- o quadrilátero [ABCD] é um retângulo;
- os pontos A e B pertencem ao eixo das abcissas;
- o ponto D pertence ao gráfico da função g;
- os pontos E e C pertencem ao gráfico da função f;
- os pontos A e E têm abcissa igual a 1.
- A ordenada do ponto E é \({y_E} = f\left( 1 \right) = 1\).
As ordenadas dos pontos C e D são iguais, sendo \({y_C} = {y_D} = g\left( 1 \right) = 3 \times {1^2} = 3\).
Determinando a abcissa de C, vem:\[\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( {{x_C}} \right) = {y_C}}& \Leftrightarrow &{{x_C} = {y_c}}\\{}& \Leftrightarrow &{{x_C} = 3}\end{array}\]Logo, a medida da área do trapézio [ABCE] é \[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{\left[ {ABCE} \right]}}}& = &{\frac{{\overline {BC} + \overline {AE} }}{2} \times \overline {AB} }\\{}& = &{\frac{{3 + 1}}{2} \times 2}\\{}& = &4\end{array}\] - A expressão que define a função cujo gráfico é simétrico do gráfico da função g relativamente ao eixo das abcissas é \( – g\left( x \right) = – 3{x^2}\).
Assim, a alternativa correta é a [D].
