Um sistema de equações

Observa o seguinte sistema de equações.

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y = 8}\\{\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 4y = *}\end{array}}\end{array}} \right.\]

1. Para obtermos um sistema indeterminado, as duas equações do sistema têm de ser equivalentes.
   Por isso, será \(* = 16\), pois \[\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y = 8}& \Leftrightarrow &{2 \times \left( {x + 2y} \right) = 8 \times 2}& \Leftrightarrow &{2x + 4y = 16}\end{array}\] Em alternativa, sabemos que o sistema é indeterminado quando as duas equações definem duas funções afins cujos gráficos são retas paralelas coincidentes. Deste modo, as retas têm de ter igual declive e igual ordenada na origem. Assim, a conclusão será a mesma, como se pode verificar:
   \[\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y = 8}\\{\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 4y = *}\end{array}}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = – \frac{1}{2}x + 4}\\{\begin{array}{*{20}{l}}{y = – \frac{1}{2}x + \frac{*}{4}}\end{array}}\end{array}} \right.}&{{\rm{Logo:}}}&{\frac{*}{4} = 4 \Leftrightarrow * = 16}\end{array}\]
2. Sim, sendo indeterminado, o sistema tem uma infinidade de soluções. Consideremos as quatro soluções \(\begin{array}{*{20}{c}}{\left( { – 2,5} \right);}&{\left( {0,4} \right);}&{\left( {2,3} \right);}&{\left( {4,2} \right)}\end{array}\), que estão representadas no referencial ao lado.
   
   
3. Se a * for atribuído o número 10, as retas que as equações representam são estritamente paralelas, visto que apresentam igual declive e ordenadas na origem diferentes, conforme se mostra de seguida:\[\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y = 8}\\{\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 4y = 10}\end{array}}\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = – \frac{1}{2}x + 4}\\{\begin{array}{*{20}{l}}{y = – \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}}\end{array}}\end{array}}\right.}\end{array}\]Nesse caso, o sistema não tem qualquer solução.