Um trapézio isósceles
Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 87 Ex. 10
Num trapézio isósceles com 36 cm2 de área, a base maior mede 10 cm e a base menor tem o dobro da altura.
Qual é o valor, arredondado às centésimas, do perímetro deste trapézio? Explica a tua resposta.
Sabe-se que:
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\(\overline {AB} = 10\) cm
-
\(\overline {CD} = 2 \times \overline {DE} \)
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\({A_{\left[ {ABCD} \right]}} = 36\) cm2
Comecemos por exprimir a área do trapézio isósceles em função de \(\overline {DE} \):
\[{A_{\left[ {ABCD} \right]}} = \frac{{\overline {AB} + \overline {CD} }}{2} \times \overline {DE} = \frac{{10 + 2 \times \overline {DE} }}{2} \times \overline {DE} = \left( {5 + \overline {DE} } \right) \times \overline {DE} = {\overline {DE} ^2} + 5 \times \overline {DE} \]
Como o trapézio tem 36 cm2 de área, resulta:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{\left[ {ABCD} \right]}} = 36}& \Leftrightarrow &{{{\overline {DE} }^2} + 5 \times \overline {DE} = 36}\end{array}\]
Determinemos, por isso, a solução positiva da equação \({{x^2} + 5x = 36}\):
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 5x = 36}& \Leftrightarrow &{{x^2} + 5x – 36 = 0}\\{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – 5 \mp \sqrt {25 – 4 \times \left( { – 36} \right)} }}{2}}\\{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – 5 \mp \sqrt {169} }}{2}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ – 5 – 13}}{2}}& \vee &{x = \frac{{ – 5 + 13}}{2}}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 9}& \vee &{x = 4}\end{array}}\end{array}\]
Assim, conclui-se que \(\overline {DE} = 4\) cm.
Por aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [ADE], vem:
\[\overline {AD} = \sqrt {{{\overline {AE} }^2} + {{\overline {DE} }^2}} = \sqrt {{1^2} + {4^2}} = \sqrt {17} \]
Resultando, desta forma, que o perímetro do trapézio é, aproximadamente, 26,25 cm:
\[{P_{\left[ {ABCD} \right]}} = \overline {AB} + \overline {CD} + 2\overline {AD} = 10 + 8 + 2\sqrt {17} = 18 + 2\sqrt {17} \approx 26,25\]
