Uma caixa aberta
Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 87 Ex. 11
De um quadrado de cartão, de lado x cm, foi cortado, em cada canto, um quadradinho com 2 cm de lado, como mostra a figura.
- Calcula o valor de x, sabendo que a figura resultante tem área 65 cm2.
- Depois de cortado o cartão, construímos uma caixa aberta.
Determina o valor de x, de modo que o volume da caixa seja 50 cm3.
Comecemos por exprimir a área da figura resultante em função de x:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{FR}}}& = &{{A_{Cartão}} – 4 \times {A_{Quadradinho}}}\\{}& = &{{x^2} – 4 \times {2^2}}\\{}& = &{{x^2} – 16}\end{array}\]
Ora, como se sabe que a área da figura resultante é 65 cm2, então vem: \[{x^2} – 16 = 65\]
No entanto, esta equação possui duas soluções e uma delas não é solução do problema, como veremos de seguida:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – 16 = 65}& \Leftrightarrow &{{x^2} = 81}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 9}& \vee &{x = 9}\end{array}}\end{array}\]
Como \(x > 4\) (Porquê?), então a solução do problema é \({x = 9}\).Alternativa:
Ao repararmos que terá de ser \(x > 4\), poderíamos ter resolvido da seguinte forma:\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{FR}} = 65}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} – 16 = 65}& \wedge &{x > 4}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 81}& \wedge &{x > 4}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 9}& \vee &{x = 9}\end{array}} \right)}& \wedge &{x > 4}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{x = 9}\end{array}\]
- Ora, a base da caixa é um quadrado cujo lado mede \(\left( {x – 4} \right)\) cm e a altura da caixa é 2 cm.
Assim, temos:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{V_{Caixa}} = 50}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x – 4} \right)}^2} \times 2 = 50}& \wedge &{x > 4}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x – 4} \right)}^2} = 25}& \wedge &{x > 4}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x – 4 = – 5}& \vee &{x – 4 = 5}\end{array}} \right)}& \wedge &{x > 4}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1}& \vee &{x = 9}\end{array}} \right)}& \wedge &{x > 4}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{x = 9}\end{array}\]
Portanto, para que o volume da caixa seja 50 cm3, terá de ser \({x = 9}\).
Comecemos por exprimir a área da figura resultante em função de x:
![O quadrilátero [ABCD] está dividido em dois triângulos retângulos](https://www.acasinhadamatematica.pt/wp-content/uploads/2018/03/9V2Pag056-9a-720x340.png)
