Considera as equações do 2.º grau
Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 85 Tarefa 4
Considera as seguintes equações do 2.º grau.
| \({x^2} + 4x – 12 = 0\) | \( – 2{x^2} = 0\) | \({x^2} – 25 = 0\) |
| \( – 8{x^2} + 6x = 0\) | \(9{x^2} – 6x – 2 = 0\) | \({x^2} – 8x + 7 = 0\) |
- Identifica as equações do 2.º grau completas e as equações do 2.º grau incompletas.
- Copia e completa uma tabela como a seguinte.
Equação Coeficiente de \({x^2}\)
(a)Coeficiente de \(x\)
(b)Termo independente
(c)\({x^2} + 4x – 12 = 0\) \( – 2{x^2} = 0\) \({x^2} – 25 = 0\) \( – 8{x^2} + 6x = 0\) \(9{x^2} – 6x – 2 = 0\) \({x^2} – 8x + 7 = 0\) - Resolve cada uma das equações do 2.º grau, usando, quando necessário, a fórmula resolvente.
| Equações do 2.º grau completas: | \({x^2} + 4x – 12 = 0\) | \(9{x^2} – 6x – 2 = 0\) | \({x^2} – 8x + 7 = 0\) |
| Equações do 2.º grau incompletas: | \( – 8{x^2} + 6x = 0\) | \( – 2{x^2} = 0\) | \({x^2} – 25 = 0\) |
- A indicação das equações completas e incompletas está feita acima.
- Copia e completa uma tabela como a seguinte.
Equação Coeficiente de \({x^2}\)
(a)Coeficiente de \(x\)
(b)Termo independente
(c)\({x^2} + 4x – 12 = 0\) 1 4 -12 \( – 2{x^2} = 0\) -2 0 0 \({x^2} – 25 = 0\) 1 0 -25 \( – 8{x^2} + 6x = 0\) -8 6 0 \(9{x^2} – 6x – 2 = 0\) 9 -6 -2 \({x^2} – 8x + 7 = 0\) 1 -8 7
- Resolve cada uma das equações do 2.º grau, usando, quando necessário, a fórmula resolvente.
Fórmula resolvente da equação do 2.º grau:
$$\begin{array}{*{20}{c}}
{a{x^2} + bx + c = 0}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}}&{(a \ne 0)}
\end{array}$$
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 4x – 12 = 0}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – 4 \mp \sqrt {{4^2} – 4 \times 1 \times \left( { – 12} \right)} }}{{2 \times 1}}}\\{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{ – 4 \mp \sqrt {64} }}{2}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ – 4 – 8}}{2}}& \vee &{x = \frac{{ – 4 + 8}}{2}}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 6}& \vee &{x = 2}\end{array}}\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ – 2{x^2} = 0}& \Leftrightarrow &{{x^2} = 0}\\{}& \Leftrightarrow &{x = 0}\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – 25 = 0}& \Leftrightarrow &{{x^2} = 25}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 5}& \vee &{x = 5}\end{array}}\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ – 8{x^2} + 6x = 0}& \Leftrightarrow &{2x\left( { – 4x + 3} \right) = 0}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{2x = 0}& \vee &{ – 4x + 3 = 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}& \vee &{x = \frac{3}{4}}\end{array}}\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{9{x^2} – 6x – 2 = 0}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{6 \mp \sqrt {{{\left( { – 6} \right)}^2} – 4 \times 9 \times \left( { – 2} \right)} }}{{2 \times 9}}}\\{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{6 \mp \sqrt {108} }}{{18}}}\\{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{6 \mp 6\sqrt 3 }}{{18}}}\\{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{1 \mp \sqrt 3 }}{3}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{1 – \sqrt 3 }}{3}}& \vee &{x = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{3}}\end{array}}\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – 8x + 7 = 0}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{8 \mp \sqrt {{{\left( { – 8} \right)}^2} – 4 \times 1 \times 7} }}{{2 \times 1}}}\\{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{8 \mp \sqrt {36} }}{2}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{8 – 6}}{2}}& \vee &{x = \frac{{8 + 6}}{2}}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}& \vee &{x = 7}\end{array}}\end{array}\]
