Um triângulo isósceles

Seja [ABC] um triângulo tal que \(\overline {AC} = 4\) e \(\overline {AB} = \overline {BC} = 6\).

Seja M o ponto médio de [AB].

1. Seja [BN] a altura do triângulo relativa ao vértice B.
   Então, este segmento de reta é perpendicular ao lado [AC] do triângulo.
   Ora, como \(\overline {AB} = \overline {BC} \), então o ponto B pertence à mediatriz de [AC].
   Como a reta BN é perpendicular a [AC] e contém um ponto (B) equidistante dos extremos desse segmento, então essa reta BN é a mediatriz de [AC].
   Finalmente, como N é um ponto de [AC] e da sua mediatriz, então será o ponto médio de [AC].
   ­
2. Os segmentos de reta [BN] e [CM] são duas medianas do triângulo [ABC], que se intersetam no ponto Q. Por isso, Q é o baricentro do triângulo [ABC].
   ­
3. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [BCN], temos:\[\overline {BN} = \sqrt {{6^2} – {2^2}} = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 \]
   Como o baricentro divide cada uma das medianas em dois segmentos com comprimentos de razão 2:1, vem: \[\overline {QN} = \frac{1}{2}\overline {BQ} = \frac{1}{3}\overline {BN} = \frac{1}{3} \times \sqrt {32} = \frac{{\sqrt {32} }}{3} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\]
   ­
4. No triângulo retângulo [CNQ], vem:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm tg}\nolimits} A\widehat CM = \frac{{\overline {QN} }}{{\overline {NC} }}}& \Leftrightarrow &{{\mathop{\rm tg}\nolimits} A\widehat CM = \frac{{\frac{{4\sqrt 2 }}{3}}}{2}}\\{}& \Leftrightarrow &{{\mathop{\rm tg}\nolimits} A\widehat CM = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}\\{}& \Leftrightarrow &{A\widehat CM = {{{\mathop{\rm tg}\nolimits} }^{ – 1}}(\frac{{2\sqrt 2 }}{3})}\\{}&{}&{A\widehat CM \approx 43,3^\circ }\end{array}\]