Um triângulo inscrito numa circunferência

Na figura, está representada uma circunferência de centro no ponto O.
Os pontos A, B, C, P e R pertencem à circunferência.
Sabe-se que:

• a circunferência tem raio 8;

• \(\overline {BA} = \overline {BC} \);

• [PR] é um diâmetro da circunferência;

• o ponto Q é o ponto de interseção dos segmentos [BA] e [PR];

• o ponto S é o ponto de interseção dos segmentos [BC] e [PR];

• \(A\widehat BO = 36^\circ \);

• \(B\widehat OP = 90^\circ \).

1. Seja B’ a imagem do ponto B na reflexão de eixo PR.
   Ora, \(\overparen{AB} = \overparen{BAB’} – \overparen{AB’} = 180^\circ – 2 \times A\widehat BB’ = 180^\circ – 2 \times 36^\circ = 108^\circ \).
   ­
2. No triângulo retângulo [BOQ], vem:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm tg}\nolimits} O\widehat BQ = \frac{{\overline {OQ} }}{{\overline {OB} }}}& \Leftrightarrow &{{\mathop{\rm tg}\nolimits} 36^\circ = \frac{{\overline {OQ} }}{8}}\\{}& \Leftrightarrow &{\overline {OQ} = 8 \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} 36^\circ }\end{array}\]
   A área, em u.a., da região representada a sombreado é:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{Sombreada}}}& = &{\frac{1}{2}{A_{Círculo}} – {A_{\left[ {BQS} \right]}}}\\{}& = &{\frac{{\pi \times {8^2}}}{2} – \frac{{\overline {QS} \times \overline {OB} }}{2}}\\{}& = &{32 \times \pi – \frac{{2 \times 8 \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} 36^\circ \times 8}}{2}}\\{}& = &{32 \times \pi – 64 \times {\mathop{\rm tg}\nolimits} 36^\circ }\\{}& \approx &{54}\end{array}\]