Uma mão de 5 cartas
Análise combinatória: Infinito 12 A - Parte 1 Pág. 174 Ex. 47
Enunciado
Qual a probabilidade de um jogador, numa mão de 5 cartas extraídas ao acaso de um baralho de 40 cartas, receber:
- o ás de copas;
- exatamente dois valetes;
- exatamente quatro ouros;
- pelo menos dois reis.
Resolução
Uma mão de 5 cartas pode ser obtida, ao acaso, de um baralho de 40 cartas de $$^{40}{{C}_{5}}=\frac{40\times 39\times 38\times 37\times 36\times 35!}{35!\times 5!}=658008$$ maneiras diferentes.
- As mãos de cinco cartas que contêm o ás de copas são $${{N}_{1}}{{=}^{1}}{{C}_{1}}{{\times }^{39}}{{C}_{4}}=1\times \frac{39\times 38\times 37\times 36\times 35!}{35!\times 4!}=82251$$
Logo, a probabilidade pedida é $$p=\frac{^{1}{{C}_{1}}{{\times }^{39}}{{C}_{4}}}{^{40}{{C}_{5}}}=\frac{\frac{39\times 38\times 37\times 36\times 35!}{35!\times 4!}}{\frac{40\times 39\times 38\times 37\times 36\times 35!}{35!\times 5!}}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$$ - As mãos de cinco cartas que contêm dois valetes são $${{N}_{2}}{{=}^{4}}{{C}_{2}}{{\times }^{36}}{{C}_{3}}=\frac{4\times 3\times 2!}{2!\times 2!}\times \frac{36\times 35\times 34\times 33!}{33!\times 3!}=42840$$
Logo, a probabilidade pedida é $$p=\frac{^{4}{{C}_{2}}{{\times }^{36}}{{C}_{3}}}{^{40}{{C}_{5}}}=\frac{\frac{4\times 3\times 2!}{2!\times 2!}\times \frac{36\times 35\times 34\times 33!}{33!\times 3!}}{\frac{40\times 39\times 38\times 37\times 36\times 35!}{35!\times 5!}}=\frac{36\times 35\times 34}{39\times 38\times 37\times 12}=\frac{595}{9139}$$ - As mãos de cinco cartas que contêm quatro ouros são $${{N}_{3}}{{=}^{10}}{{C}_{4}}{{\times }^{30}}{{C}_{1}}=\frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{6!\times 4!}\times 30=6300$$
Logo, a probabilidade pedida é $$p=\frac{^{10}{{C}_{4}}{{\times }^{30}}{{C}_{1}}}{^{40}{{C}_{5}}}=\frac{\frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6!}{6!\times 4!}\times 30}{\frac{40\times 39\times 38\times 37\times 36\times 35!}{35!\times 5!}}=\frac{10\times 3\times 7\times 30}{39\times 38\times 37\times 12}=\frac{175}{18278}$$ - As mãos de cinco cartas que contêm pelo menos dois reis são $${{N}_{4}}{{=}^{4}}{{C}_{2}}{{\times }^{36}}{{C}_{3}}{{+}^{4}}{{C}_{3}}{{\times }^{36}}{{C}_{2}}{{+}^{4}}{{C}_{4}}{{\times }^{36}}{{C}_{1}}=45396$$
Logo, a probabilidade pedida é $$p=\frac{^{10}{{C}_{4}}{{\times }^{4}}{{C}_{2}}{{\times }^{36}}{{C}_{3}}{{+}^{4}}{{C}_{3}}{{\times }^{36}}{{C}_{2}}{{+}^{4}}{{C}_{4}}{{\times }^{36}}{{C}_{1}}^{30}{{C}_{1}}}{^{40}{{C}_{5}}}=\frac{45396}{658008}=\frac{97}{1406}$$
