Três inequações
Os números reais: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 42 Ex. 6
Enunciado
Considera as seguintes inequações:
\[\begin{array}{*{20}{c}}{6x – 2 < 0}&{}&{ – 6x \le – 2}&{}&{ – 3x + 2 > 1}\end{array}\]
- Resolve cada uma das inequações, apresentando o conjunto-solução na forma de intervalo.
- Existem inequações equivalentes entre as apresentadas?
Se sim, quais? Justifica a tua resposta. - Os números \(\frac{1}{3}\) e \( – \frac{1}{3}\) são soluções comuns às três inequações? Justifica.
Resolução
\[\begin{array}{*{20}{c}}{6x – 2 < 0}&{}&{ – 6x \le – 2}&{}&{ – 3x + 2 > 1}\end{array}\]
- Resolvendo as inequações, temos:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{6x – 2 < 0}& \Leftrightarrow &{6x < 2}\\{}& \Leftrightarrow &{x < \frac{1}{3}}\\{}&{}&{}\\{}&{}&{S = \left] { – \infty ,\;\frac{1}{3}} \right[}\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ – 6x \le – 2}& \Leftrightarrow &{6x \ge 2}\\{}& \Leftrightarrow &{x \ge \frac{1}{3}}\\{}&{}&{}\\{}&{}&{S = \left[ {\frac{1}{3},\; + \infty } \right[}\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ – 3x + 2 > 1}& \Leftrightarrow &{ – 3x > – 1}\\{}& \Leftrightarrow &{x < \frac{1}{3}}\\{}&{}&{}\\{}&{}&{S = \left] { – \infty ,\;\frac{1}{3}} \right[}\end{array}\]
- A primeira e terceira inequações são equivalentes, pois possuem o mesmo conjunto-solução.
- Nenhum desses valores (\(\frac{1}{3}\) e \( – \frac{1}{3}\)) é solução comum às três inequações, pois nenhum deles pertence simultaneamente aos respetivos conjuntos-solução.
