Um sólido constituído por um cilindro e dois cones
Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 28 Ex. 5
Um sólido é formado por um cilindro e por dois cones retos com a mesma altura e cuja base é a base do cilindro.
O cilindro tem 18 cm de altura e 1152π cm3 de volume. A área da superfície do sólido é 560π cm2.
Qual é o volume do sólido?
Seja r o comprimento do raio da base do cilindro, g o comprimento da geratriz do cone e h o comprimento da altura do cone, todos eles em centímetros.
Comecemos por determinar r:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{V_{Cilindro}} = 1152\pi }& \Leftrightarrow &{\pi {r^2} \times 18 = 1152\pi }\\{}& \Leftrightarrow &{r = \sqrt {\frac{{1152}}{{18}}} }\\{}& \Leftrightarrow &{r = \sqrt {64} }\\{}& \Leftrightarrow &{r = 8}\end{array}\]
Calculemos agora a área da superfície lateral do cilindro:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{LCilindro}}}& = &{\left( {2\pi \times 8} \right) \times 18}\\{}& = &{288\pi }\end{array}\]
Calculemos seguidamente a área da superfície lateral de um dos dois cones iguais:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{LCone}}}& = &{\frac{{{A_T} – {A_{LCilindro}}}}{2}}\\{}& = &{\frac{{560\pi – 288\pi }}{2}}\\{}& = &{136\pi }\end{array}\]
Determinemos agora g:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{A_{LCone}}}}{{2\pi \times r}} = \frac{{\pi \times {g^2}}}{{2\pi \times g}}}& \Leftrightarrow &{\frac{{136\pi }}{{16\pi }} = \frac{g}{2}}\\{}& \Leftrightarrow &{g = \frac{{2 \times 136}}{{16}}}\\{}& \Leftrightarrow &{g = 17}\end{array}\]
Por aplicação do Teorema de Pitágoras, determinemos h:
\[h = \sqrt {{g^2} – {r^2}} = \sqrt {{{17}^2} – {8^2}} = 15\]
Finalmente, conclui-se que o sólido tem 1792π cm3 de volume:
\[\begin{array}{*{20}{l}}V& = &{{V_{Cilindro}} + 2 \times {V_{Cone}}}\\{}& = &{1152\pi + 2 \times \frac{1}{3} \times \pi \times {8^2} \times 15}\\{}& = &{1792\pi }\end{array}\]
