Uma pirâmide quadrangular
Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 19 Ex. 1
Considera a pirâmide quadrangular [ABCDE] representada na figura.
Sabe-se que [DB] é a diagonal do quadrilátero [ABCD] e que F é a projeção ortogonal de E no plano que contém a base da pirâmide.
Utilizando uma decomposição em pirâmides triangulares, verifica que o volume da pirâmide quadrangular é igual a um terço do produto da área da base pela altura.
Consideremos a pirâmide [ABCDE], de volume V, decomposta nas pirâmides [ABDE] e [BCDE], de volumes V1 e V2, respetivamente.
Tem-se, portanto, \(V = {V_1} + {V_2}\), donde se obtém sucessivamente:
\[\begin{array}{*{20}{l}}V& = &{{V_1} + {V_2}}\\{}& = &{\frac{{{A_{\left[ {ABD} \right]}} \times \overline {EF} }}{3} + \frac{{{A_{\left[ {BCD} \right]}} \times \overline {EF} }}{3}}\\{}& = &{\left( {\frac{{{A_{\left[ {ABD} \right]}}}}{3} + \frac{{{A_{\left[ {BCD} \right]}}}}{3}} \right) \times \overline {EF} }\\{}& = &{\frac{{{A_{\left[ {ABD} \right]}} + {A_{\left[ {BCD} \right]}}}}{3} \times \overline {EF} }\\{}& = &{\frac{{{A_{\left[ {ABCD} \right]}} \times \overline {EF} }}{3}}\end{array}\]
Portanto, o volume da pirâmide quadrangular é igual a um terço do produto da área da base pela altura: \[V = \frac{{{A_{\left[ {ABCD} \right]}} \times \overline {EF} }}{3}\]
