Prove que a sucessão é um infinitamente grande positivo

Considere a sucessão de termo geral ${a_n} = {n^2} + 1$.

Prove que a sucessão é um infinitamente grande positivo:

1. usando a definição;

2. sem usar a definição.

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1. Seja $M \in {\mathbb{R}^ + }$.
   Ora,
   \[\begin{array}{*{20}{l}}
   {{a_n} > M}& \Leftrightarrow &{{n^2} + 1 > M} \\
   {}& \Leftrightarrow &{{n^2} > M – 1} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
   {\left( {\begin{array}{*{20}{l}}
   {n \in \mathbb{N}}& \wedge &{M \in \left] {0,1} \right[}
   \end{array}} \right)}& \vee &{\left( {\begin{array}{*{20}{l}}
   {n > \sqrt {M – 1} }& \wedge &{M \in \left[ {1, + \infty } \right[}
   \end{array}} \right)}
   \end{array}}
   \end{array}\]
   Pelo exposto, conclui-se que $\forall M \in {\mathbb{R}^ + },\,\,\exists p \in \mathbb{N}:\,\,n > p \Rightarrow {a_n} > M$.

   Logo, a sucessão $\left( {{a_n}} \right)$ é um infinitamente grande positivo.
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2. Consideremos a seguinte função quadrática: \[\begin{array}{*{20}{l}}
   {f:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
   {}&{x \to {x^2} + 1}
   \end{array}\]
   Ora, sabe-se que \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty \]
   Como a sucessão $\left( {{a_n}} \right)$ é a restrição da função $f$ ao conjunto $\mathbb{N}$, então será $\lim {a_n} =  + \infty $.
   Logo, a sucessão $\left( {{a_n}} \right)$ é um infinitamente grande positivo.