Prove que a sucessão é um infinitamente grande negativo

Seja $\left( {{b_n}} \right)$ uma sucessão tal que ${b_n} = \frac{{3 – 4n}}{2}$.

1. Prove que a sucessão é um infinitamente grande negativo, usando a definição e sem usar a definição.

2. Determine a menor ordem a partir da qual os termos da sucessão são inferiores a $ – 500$.

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1. A sucessão $\left( {{b_n}} \right)$ é um infinitamente grande negativo se e só se $\left( { – {b_n}} \right)$ for um infinitamente grande positivo.

   Seja $M \in {\mathbb{R}^ + }$.
   Ora,
   \[\begin{array}{*{20}{l}}
   { – {b_n} > M}& \Leftrightarrow &{ – \frac{{3 – 4n}}{2} > M} \\
   {}& \Leftrightarrow &{\frac{{4n – 3}}{2} > M} \\
   {}& \Leftrightarrow &{n > \frac{{2M + 3}}{4}}
   \end{array}\]
   Conclui-se que $\forall M \in {\mathbb{R}^ + },\,\,\exists p \in \mathbb{N}:\,\,n > p \Rightarrow  – {b_n} > M$.

   Logo, $\left( { – {b_n}} \right)$ é um infinitamente grande positivo e, consequentemente, $\left( {{b_n}} \right)$ é um infinitamente grande negativo.

   Sem usar a definição:

   Consideremos a função afim:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}
   {f:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
   {}&{x \to \frac{{3 – 4x}}{2}}
   \end{array}\]
   Ora, sabe-se que \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  – \infty \).
   Como a sucessão $\left( {{b_n}} \right)$ é a restrição de $f$ ao conjunto $\mathbb{N}$, então será $\lim {b_n} =  – \infty $.
   Logo, a sucessão $\left( {{b_n}} \right)$ é um infinitamente grande negativo.
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2. Temos necessidade de resolver a condição ${b_n} <  – 500 \Leftrightarrow  – {b_n} > 500$, pelo que bastará considerar $M = 500$ na inequação resolvida na alínea anterior:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}
   {{b_n} <  – 500}& \Leftrightarrow &{n > \frac{{2 \times 500 + 3}}{4}} \\
   {}& \Leftrightarrow &{n > 250,75}
   \end{array}\]
   Portanto, os termos da sucessão $\left( {{b_n}} \right)$ são inferiores a $ – 500$ a partir da ordem $251$, inclusive.