A sucessão de termo geral ${u_n} = \operatorname{sen} \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right)$ é limitada? E monótona?

A sucessão de termo geral ${u_n} = \operatorname{sen} \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right)$ é limitada? E monótona?

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A sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ é a restrição a $\mathbb{N}$ da função \[\begin{array}{*{20}{l}}
{f:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to \operatorname{sen} \left( {\frac{\pi }{2}x} \right)}
\end{array}\]

que possui contradomínio $D{‘_f} = \left[ { – 1,1} \right]$.

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Seja $S$ o conjunto dos termos de $\left( {{u_n}} \right)$.

Como a sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ é a restrição de $f$ a $\mathbb{N}$, então $S \subset \left[ { – 1,1} \right]$.

Logo, a sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ é limitada, pois é limitado o conjunto dos seus termos.

Note que $S = \left\{ { – 1,0,1} \right\}$.

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A sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ não é monótona, pois ${u_1} > {u_2} > {u_3} < {u_4}$, visto que ${u_1} = 1$, ${u_2} = 0$, ${u_3} =  – 1$ e ${u_4} = 0$.

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