Outro cone reto

Comecemos por determinar uma expressão da área da superfície do cone em função de r e de g.

Ora, a superfície lateral do cone é um setor circular de raio [VA], cuja área é diretamente proporcional ao comprimento do arco correspondente a esse setor circular:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{A_L}}}{{2\pi \times r}} = \frac{{\pi \times {g^2}}}{{2\pi \times g}}}& \Leftrightarrow &{\frac{{{A_L}}}{{2\pi \times r}} = \frac{g}{2}}\\{}& \Leftrightarrow &{{A_L} = \pi \times r \times g}\end{array}\]

A área da superfície total do cone pode ser expressa, em função de r e de g, por:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_T}}& = &{{A_B} + {A_L}}\\{}& = &{\pi \times {r^2} + \pi \times r \times g}\\{}& = &{\pi \times r\left( {r + g} \right)}\end{array}\]

1. Comecemos por determinar o valor de r:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}{V = 13718\pi }& \Leftrightarrow &{\frac{1}{3}\pi {r^2} \times 28,5 = 13718\pi }\\{}& \Leftrightarrow &{r = \sqrt {\frac{{3 \times 13718}}{{28,5}}} }\\{}& \Leftrightarrow &{r = \sqrt {1444} }\\{}& \Leftrightarrow &{r = 38}\end{array}\]
   Por aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo [OAV], temos:
   \[g = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{{38}^2} + {{28,5}^2}} = 47,5\]
   Assim, o valor da área da superfície do cone, em cm², é:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_T}}& = &{\pi \times 38\left( {38 + 47,5} \right)}\\{}& = &{3249\pi }\end{array}\]
2. Como a amplitude do setor circular é diretamente proporcional ao comprimento do arco correspondente, vem:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{360^\circ }}{{2\pi \times g}} = \frac{\alpha }{{2\pi \times r}}}& \Leftrightarrow &{\alpha = \frac{{2\pi \times r}}{{2\pi \times g}} \times 360^\circ }\\{}& \Leftrightarrow &{\alpha = \frac{r}{g} \times 360^\circ }\end{array}\]
   Assim, é de \(288^\circ \) a medida da amplitude do setor circular que se obtém quando se planifica o cone:
   \[\alpha = \frac{{38}}{{47,5}} \times 360^\circ = 288^\circ \]