Monthly Archive: Março 2014

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Mostre que a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, apesar de contínua, não tem derivada em $x = 0$:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
x& \Leftarrow &{x > 0} \\
{ – {x^2}}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

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• Enunciado
• Resolução

Na figura, está representado um projeto de uma escultura em cimento para o jardim de uma escola, constituída por uma esfera colocada sobre um cubo.

Pretende-se que a escultura tenha uma altura total de $2$ metros.

Apresentam-se, a seguir, as vistas de frente de três possíveis concretizações do projeto.

Designemos por $x$ o raio da esfera (em metros).

1. Indique, na forma de intervalo de números reais, o conjunto dos valores que a variável $x$ pode assumir.
2. Mostre

• Enunciado
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A população inicial de uma colónia de bactérias é $100 000$ unidades.

Depois de $t$ horas, a colónia tem uma população $P\left( t \right)$, que obedece à lei polinomial seguinte:

\[P\left( t \right) = 10000\,{t^3}\]

1. Qual é o número de bactérias após $10$ horas?
2. Encontre a lei que indica a taxa de variação da população $P\left( t \right)$ em relação ao tempo $t$.
3. Determine essa taxa de variação após $10$ horas.

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• Enunciado
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Uma partícula move-se sobre uma reta de forma que, após $t$ segundos, ela encontra-se a $s\left( t \right) = 2{t^2} + 3t$ metros da sua posição inicial.

1. Determine a posição da partícula após $2$ s.
2. Determine a posição da partícula após $3$ s.
3. Calcule a velocidade média da partícula no intervalo de tempo $\left[ {2,3} \right]$ (em segundos).
4. Calcule a velocidade instantânea em $t = 2$ s.

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