A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Daily Archive: Março 19, 2014

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Aplicando / 11.º Ano / Derivadas

Mostre que a função, apesar de contínua, não tem derivada em $x = 0$

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 20

Enunciado

Mostre que a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, apesar de contínua, não tem derivada em $x = 0$:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
x& \Leftarrow &{x > 0} \\
{ – {x^2}}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

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Derivadas / Aplicando / 11.º Ano

Mostre que a função não admite extremo em $x = 0$

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 19

Enunciado

Mostre que a derivada da função definida por \[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
x& \Leftarrow &{x > 0} \\
{{x^2} + 1}& \Leftarrow &{x \leqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

muda de sinal quando passa da esquerda para a direita de zero, mas a função $f$ não tem máximo nem mínimo nesse ponto.

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Aplicando / 11.º Ano / Derivadas

Mostre que

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 82 Ex. 18

Enunciado

Mostre que:

  1. a função definida por $f\left( x \right) = {x^3} + 2$ é estritamente crescente em $\mathbb{R}$;
  2. a função definida por $g\left( x \right) = {x^3} – 2x + 12$ é estritamente crescente em $\left] {1, + \infty } \right[$;
  3. a função definida por $r\left( x \right) =  – {x^2} + 2$ é estritamente crescente em $\left] { – \infty ,0} \right[$;
  4. a função definida por $s\left( x \right) =  – \frac{3}{x}$ é estritamente crescente em
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