Category: Números complexos

Radiciação em $\mathbb{C}$ 0

Radiciação em $\mathbb{C}$

Números complexos

Sendo $z = \rho \operatorname{cis} \theta $ um número complexo não nulo, as $n$ raízes de índice $n$ são: $${w_k} = \sqrt[n]{\rho }\operatorname{cis} \left( {\frac{\theta }{n} + \frac{{2k\pi }}{n}} \right)\,\,,k = 0,1,2,…,n – 1$$

 

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Prove que 0

Prove que

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 100 Ex. 61

Enunciado

Prove que:

  1. $w = 2i$ é uma raiz quarta de $z = 16$.
     
  2. $w = 1 + i$ é uma raiz quadrada de $z = 2i$.

Resolução >> Resolução

  1. Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{w^4}}& = &{{{\left( {2i} \right)}^4}} \\
      {}& = &{16{i^4}} \\
      {}& = &{16}
    \end{array}$$
     
    Como ${w^4}
Prove que $w = 1 + i$ é uma raiz cúbica de $z =  – 2 + 2i$ 0

Prove que $w = 1 + i$ é uma raiz cúbica de $z = – 2 + 2i$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 57

Enunciado

Prove que $w = 1 + i$ é uma raiz cúbica de $z =  – 2 + 2i$.

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{w^3}}& = &{{{\left( {1 + i} \right)}^3}} \\
  {}& = &{{{\left( {\sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{\pi }{4}} \right)}^3}} \\
  {}& = &{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}\operatorname{cis} …

Calcule o valor de 0

Calcule o valor de

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 56

Enunciado

Calcule o valor de: $${{{\left( {\frac{{\cos \theta  – i\operatorname{sen} \theta }}{{\operatorname{sen} \theta  + i\cos \theta }}} \right)}^5}}$$

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{{\left( {\frac{{\cos \theta  – i\operatorname{sen} \theta }}{{\operatorname{sen} \theta  + i\cos \theta }}} \right)}^5}}& = &{{{\left( {\frac{{\operatorname{cis} \left( { – \theta } \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} – …

Mostre que 0

Mostre que

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 55

Enunciado

Mostre que $${\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^n} + {\left( {1 – \sqrt 3 i} \right)^n} = {2^{n + 1}}\operatorname{c} os\left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right)$$ para todo o $n \in \mathbb{N}$.

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{{\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)}^n} + {{\left( {1 – \sqrt …

Represente na forma trigonométrica 0

Represente na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 54

Enunciado

Represente, na forma trigonométrica, o número $$\frac{{1 + \sqrt 2  + i}}{{1 + \sqrt 2  – i}}$$

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {\frac{{1 + \sqrt 2  + i}}{{1 + \sqrt 2  – i}}}& = &{\frac{{1 + \sqrt 2  + i}}{{1 + \sqrt 2  – i}} \times \frac{{1 + …

Considere os seguintes números complexos 0

Considere os seguintes números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 142 Ex. 53

Enunciado

Considere $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {{z_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i}&{\text{e}}&{{z_2} = \operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4}}
\end{array}$$

  1. Determine ${z_1}.{z_2}$, na forma trigonométrica e na forma algébrica.
     
  2. Utilizando os resultados obtidos na alínea anterior, deduza os valores exatos de $\cos \frac{{7\pi }}{{12}}$ e $\operatorname{sen} \frac{{7\pi }}{{12}}$.
     
  3. Obtenha os valores de $\cos
Represente na forma trigonométrica 0

Represente na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 142 Ex. 52

Enunciado

Sendo $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {z = \sqrt 2  – \sqrt 2 i}&{\text{e}}&{w =  – \frac{2}{3} + \frac{2}{{\sqrt 3 }}i}
\end{array}$$ represente na forma trigonométrica.

  1. $z$
     
  2. $w$
     
  3. $zw$
     
  4. $\frac{z}{w}$
     
  5. ${w^3}$
     
  6. $\frac{1}{{ – w}}$
     
  7. ${z^2}\overline w $
     
  8. ${z^4}:{w^3}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      z& = &{\sqrt 2  – \sqrt 2 i} \\
Qual é a resposta correta? 0

Qual é a resposta correta?

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 142 Ex. 51

Enunciado

Em cada uma das alíneas seguintes, uma ou várias respostas estão corretas. Indique quais.

Seja $z = {\cos ^2}\theta  + \frac{i}{2}\operatorname{sen} \left( {2\theta } \right)$ e $\theta  \in \left] { – \pi ,\pi } \right[$.

 
Exercício 1

O módulo de $z$ é:

[A] $\cos \theta $, qualquer

Calcule 0

Calcule

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 141 Ex. 50

Enunciado

Sendo $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {{z_1} = 16\operatorname{cis} \frac{\pi }{4}}&{\text{e}}&{{z_2} = 16\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4}}
\end{array}$$ calcule:

  1. ${z_1} + {z_2}$
     
  2. ${z_1} – {z_2}$
     
  3. ${\left( {\frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} – {z_2}}}} \right)^3}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z_1} + {z_2}}& = &{16\operatorname{cis} \frac{\pi }{4} + 16\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4}} \\
      {}& = &{16\left( {\frac{{\sqrt 2
Qual é a resposta correta 0

Qual é a resposta correta

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 141 Ex. 49

Enunciado

Para os exercícios seguintes, só uma das respostas está correta. Indique qual.

Exercício 1

No plano complexo os afixos ${M_1}$, ${M_2}$ e ${M_3}$ dos números complexos $0$, $z$ e $\frac{1}{z}$ $\left( {z \ne 0} \right)$:

[A] são colineares;

[B] são colineares para alguns números complexos;

[C] nunca …

Escreva $z$ na forma algébrica 0

Escreva $z$ na forma algébrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 141 Ex. 48

Enunciado

Escreva $z$ na forma algébrica:

  1. $z = \operatorname{cis} \frac{\pi }{3}$
     
  2. $z = 2\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)$
     
  3. $z = \sqrt 3 \operatorname{cis} \left( { – \frac{{5\pi }}{6}} \right)$
     
  4. $z = 2\operatorname{cis} \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)$
     
  5. $z = \operatorname{cis} \frac{{9\pi }}{2}$
     
  6. $z = 9\operatorname{cis} 2\pi $