Category: Números complexos

Determine na forma trigonométrica 0

Determine na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 140 Ex. 46

Enunciado

Sendo $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {z = 2\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}}&{\text{e}}&{w = 3\operatorname{cis} \frac{\pi }{2}}
\end{array}$$ determine na forma trigonométrica:

  1. $zw$
     
  2. $\frac{z}{w}$
     
  3. ${z^3}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {zw}& = &{\left( {2\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}} \right) \times \left( {3\operatorname{cis} \frac{\pi }{2}} \right)} \\
      {}& = &{\left( {2 \times 3} \right)\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{3}
Calcule 0

Calcule

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 99 Ex. 60

Enunciado

Calcule:

  1.  
    $${\left( { – 1 – \sqrt 3 i} \right)^6}$$
     
  2.  
    $${\left( {\frac{{2 + 2i}}{{2 – 2i}}} \right)^4}$$
     
  3.  
    $${\left[ {3\operatorname{cis} \left( { – \frac{{4\pi }}{3}} \right)} \right]^5}$$

Resolução >> Resolução

Forma trigonométrica da potência (Fórmula de Moivre):

Se $z = \rho \operatorname{cis} \theta $ é um número

Calcule 0

Calcule

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 97 Ex. 59

Enunciado

Calcule:

  1.  
    $$\frac{{2\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}}}{{4\operatorname{cis} \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}}$$
     
  2.  
    $$\frac{{ – 2}}{{\operatorname{cis} \left( { – \theta } \right)}}$$
     
  3.  
    $$\frac{{ – \operatorname{cis} \frac{\pi }{6}}}{{2\operatorname{cis} \theta }}$$
     
  4.  
    $$\left( {2\operatorname{cis} \frac{{5\pi }}{6}} \right) \times \left[ {3\operatorname{cis} \left( { – \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right]$$

Resolução >> Resolução

Forma trigonométrica do quociente:

Represente na forma trigonométrica 0

Represente na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 96 Ex. 57

Enunciado

Represente na forma trigonométrica:

  1.  $z =  – 3\operatorname{cis} \theta $
     
  2. $z = 2\cos \theta  – 2i\operatorname{sen} \theta $
     
  3. $z =  – \cos \theta  – i\operatorname{sen} \theta $
     
  4. $z = \frac{1}{{2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{3} – \theta } \right)}}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      z& = &{ – 3\operatorname{cis} \theta
Represente na forma trigonométrica o simétrico e o inverso dos números complexos 0

Represente na forma trigonométrica o simétrico e o inverso dos números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 96 Ex. 56

Enunciado

Represente na forma trigonométrica o simétrico e o inverso de cada um dos seguintes números complexos:

  1. $z =  – 3 + 3i$
     
  2. $z = 2\operatorname{cis} \left( { – \pi } \right)$
     
  3. $z = 2,3\operatorname{cis} \left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right)$

Resolução >> Resolução

Forma trigonométrica do simétrico:

Se

Forma trigonométrica do produto de dois números complexos 0

Forma trigonométrica do produto de dois números complexos

Números complexos

Forma trigonométrica do produto:

Se ${z_1} = {\rho _1}\operatorname{cis} {\theta _1}$ e ${z_2} = {\rho _2}\operatorname{cis} {\theta _2}$ são dois complexos não nulos, então $${z_1}.{z_2} = {\rho _1}{\rho _2}\operatorname{cis} \left( {{\theta _1} + {\theta _2}} \right)$$

 

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":680, "height":490, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 …

Calcule o produto na forma trigonométrica 0

Calcule o produto na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 94 Ex. 54

Enunciado

Sendo $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{z_1} = 3\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)}&{\text{;}}&{{z_2} = \sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{\pi }{6}}&{\text{e}}&{{z_3} = \operatorname{cis} \frac{{5\pi }}{6}}
\end{array}$$ calcule:

  1. ${z_1}.{z_2}$
     
  2. ${z_2}.{z_3}$
     
  3. ${z_1}.{z_2}.{z_3}$

Resolução >> Resolução

Forma trigonométrica do produto:

Se ${z_1} = {\rho _1}\operatorname{cis} {\theta _1}$ e ${z_2} = {\rho _2}\operatorname{cis} {\theta

Represente, na forma trigonométrica, os conjugados dos números complexos 0

Represente, na forma trigonométrica, os conjugados dos números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 93 Ex. 53

Enunciado

Represente, na forma trigonométrica, os conjugados dos números complexos:

  1. $z =  – 3$
     
  2. $z = 2i$
     
  3. $z = 2\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)$

Resolução >> Resolução

Forma trigonométrica do conjugado:

Se $z = \rho \operatorname{cis} \theta $, então $\overline z  = \rho \operatorname{cis} \left(

Represente na forma algébrica os números complexos 0

Represente na forma algébrica os números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 92 Ex. 52

Enunciado

Represente na forma algébrica os números complexos:

  1. $z = 5\operatorname{cis} \pi $
     
  2. $z = 3\operatorname{cis} \frac{\pi }{2}$
     
  3. $z = \sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{{7\pi }}{4}$
     
  4. $z = \operatorname{cis} \frac{{7\pi }}{6}$
     
  5. $z = \sqrt 3 \operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      z& = &{5\operatorname{cis}
Represente na forma trigonométrica os números complexos 0

Represente na forma trigonométrica os números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 91 Ex. 51

Enunciado

Represente na forma trigonométrica os números complexos:

  1. $z = 3 + 3i$
     
  2. $z =  – 1 – i$
     
  3. $z = 4i$
     
  4. $z =  – 0,6i$
     
  5. $z =  – \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
     
  6. $z = \sqrt 2  – \sqrt 6 i$
     
  7. $z =  – 3 + \sqrt 3 i$
Considere os números complexos 0

Considere os números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 140 Ex. 45

Enunciado

Considere os números complexos:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {z = x + yi\,\,{\text{de afixo M}}}&;&{{z_1} = x – 4 + i\left( {y + 5} \right)}&{\text{e}}&{{z_2} = x + 4 + i\left( {1 – y} \right)}
\end{array}$$

  1. Para que valores de $x$ e $y$ se tem ${z_1} = 3{z_2}$?
     
  2. Determine e
0

Cardan e a noção de número complexo

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 140 Ex. 44

Enunciado

Gerolamo Cardano (1501 – 1576)

No séc. XVI, ao procurar decompor 10 em dois números cujo produto fosse 40, o Matemático Cardan fez uma primeira abordagem à noção de número complexo, tendo, no entanto, qualificado de “sofisticadas” as raízes quadradas de números negativos e de “subtil e …

Considere a função $f$ 0

Considere a função $f$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 139 Ex. 43

Enunciado

Considere a função $f$, de $\mathbb{C}\backslash \left\{ 0 \right\}$ em $\mathbb{C}$, definida por $$f(z) = \frac{4}{z} + 1 + i$$

  1. Resolva a equação $f(z) = 4$.
     
  2. Fazendo $z = x + yi$, $x \in \mathbb{R}$ e $y \in \mathbb{R}$:
     a) Calcule em função de $x$ e de
Trace no plano de Argand 0

Trace no plano de Argand

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 139 Ex. 42

Enunciado

Trace no plano de Argand o conjunto dos pontos M, afixos de $z$, tais que:

  1. ${z^2}$ tenha por parte real $0$.
     
  2. ${z^2}$ tenha o coeficiente da parte imaginária igual a $2$.
     
  3. ${z^2}$ seja igual a $2i$.

Resolução >> Resolução

Considerando $z = x + yi$, vem ${z^2} …

Quais são os números complexos cujos quadrados são iguais ao seu conjugado? 0

Quais são os números complexos cujos quadrados são iguais ao seu conjugado?

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 139 Ex. 41

Enunciado

Quais são os números complexos cujos quadrados são iguais ao seu conjugado?

Resolução >> Resolução

Considerando $z = x + yi$, vem ${z^2} = \left( {{x^2} – {y^2}} \right) + 2xyi$ e $\overline z  = x – yi$.

Assim, temos:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{z^2} = \overline z }& \Leftrightarrow …

Considere o número complexo $z = \alpha  + {\alpha ^2}i$ 0

Considere o número complexo $z = \alpha + {\alpha ^2}i$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 139 Ex. 40

Enunciado

Considere o número complexo $z = \alpha  + {\alpha ^2}i$.

Represente no plano complexo as imagens de $z$ para $\alpha  = 1$ e depois para $\alpha  =  – 2$, $\alpha  = 0$ e $\alpha  = 3$.

Qual é o conjunto dos pontos imagem de $z$ quando $\alpha …

Quatro números complexos 0

Quatro números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 139 Ex. 39

Enunciado

Os pontos ${M_1}$, ${M_2}$, ${M_3}$ e ${M_4}$ são os afixos dos números complexos ${z_1}$, ${z_2}$, ${z_3}$ e ${z_4}$.

Sabe-se que $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {{z_2} = i{z_1}}&{\text{;}}&{{z_3} = i{z_2}}&{\text{e}}&{{z_4} = i{z_3}}
\end{array}$$

  1. Como se pode passar de ${M_1}$ a ${M_2}$?
     
  2. Qual é a natureza do quadrilátero $\left[ {{M_1}\,{M_2}\,{M_3}\,{M_4}} \right]$?

Resolução

Os afixos das soluções da equação são vértices de um quadrado 0

Resolva a equação

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 139 Ex. 38

Enunciado

  1. Em $C$, fatorize ${z^4} – 16$ num produto de quatro fatores.
     
  2. Resolva a equação ${z^4} – 16 = 0$.
     
  3. Marque no plano complexo asimagens A, B, C e D das soluções e verifique que são vértices de um quadrado.

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z^4} – 16}& =
Resolva, em $C$, as equações 0

Resolva, em $C$, as equações

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 81 Ex. 48

Enunciado

Resolva, em $C$, as equações:

  1. ${z^3} – 4{z^2} + 5z = 0$
     
  2. $\frac{{{z^2} + z}}{{{z^2} – 1}} = 0$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z^3} – 4{z^2} + 5z = 0}& \Leftrightarrow &{z\left( {{z^2} – 4z + 5} \right) = 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
      {z = 0}&
Quociente de dois números complexos 0

Quociente de dois números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 78 Ex. 47

Enunciado

  1. Se o quociente entre dois números complexos é um número real, que relação existe entre os vetores que lhe correspondem?
     
  2. Se o quociente entre dois números complexos é um número imaginário puro, que relação existe entre os vetores que lhe correspondem?

Resolução >> Resolução

Consideremos dois números …

Determine os outros vértices do quadrado 0

Determine os outros vértices do quadrado

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 77 Ex. 46

Enunciado

Sendo A o afixo de ${z_A} =  – 3 + 5i$, um vértice de um quadrado e O o ponto médio das suas diagonais, determine os outros vértices do quadrado.

Resolução >> Resolução

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":673, "height":472, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 59 …

Determine os outros vértices do quadrado 0

Determine os outros vértices do quadrado

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 77 Ex. 45

Enunciado

Sendo o afixo A de ${z_A} = 2 – 3i$ um dos vértices de um quadrado [OABC], determine os outros vértices, B e C, desse quadrado.

(Pode obter mais do que uma solução)

Resolução >> Resolução

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":626, "height":437, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, …

Determine o quarto vértice do paralelogramo 0

Determine o quarto vértice do paralelogramo

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 75 Ex. 43

Enunciado

Os afixos de $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{z_1} = 2 – i}&,&{{z_2} = 1 + 3i}&{\text{e}}&{{z_3} =  – 3 + 2i}
\end{array}$$ são vértices de um paralelogramo.

Determine o quarto vértice desse paralelogramo.

(Pode obter mais do que uma solução.)

Resolução >> Resolução

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":674, …

Representação geométrica dos números complexos 0

Representação geométrica dos números complexos

Números complexos

Conjugado e simétrico

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":902, "height":524, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 59 || 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2 15 45 , 18 65 , 7 37 | 4 3 …

Considere o polinómio 0

Considere o polinómio

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 138 Ex. 37

Enunciado

$$P(z) = 2{z^4} – 3{z^3} + 6{z^2} – 12z – 8\,\,,z \in \mathbb{C}$$

  1. Determine os números reais $a$, $b$ e $c$ tais que, para todo o número complexo $z$, $$P(z) = \left( {{z^2} + 4} \right)\left( {a{z^2} + bz + c} \right)$$
     
  2. Resolva, em $\mathbb{C}$, a equação