Category: 12.º Ano

Qual é a resposta correta? 0

Qual é a resposta correta?

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 142 Ex. 51

Enunciado

Em cada uma das alíneas seguintes, uma ou várias respostas estão corretas. Indique quais.

Seja $z = {\cos ^2}\theta  + \frac{i}{2}\operatorname{sen} \left( {2\theta } \right)$ e $\theta  \in \left] { – \pi ,\pi } \right[$.

 
Exercício 1

O módulo de $z$ é:

[A] $\cos \theta $, qualquer

Calcule 0

Calcule

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 141 Ex. 50

Enunciado

Sendo $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {{z_1} = 16\operatorname{cis} \frac{\pi }{4}}&{\text{e}}&{{z_2} = 16\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4}}
\end{array}$$ calcule:

  1. ${z_1} + {z_2}$
     
  2. ${z_1} – {z_2}$
     
  3. ${\left( {\frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} – {z_2}}}} \right)^3}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z_1} + {z_2}}& = &{16\operatorname{cis} \frac{\pi }{4} + 16\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4}} \\
      {}& = &{16\left( {\frac{{\sqrt 2
Qual é a resposta correta 0

Qual é a resposta correta

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 141 Ex. 49

Enunciado

Para os exercícios seguintes, só uma das respostas está correta. Indique qual.

Exercício 1

No plano complexo os afixos ${M_1}$, ${M_2}$ e ${M_3}$ dos números complexos $0$, $z$ e $\frac{1}{z}$ $\left( {z \ne 0} \right)$:

[A] são colineares;

[B] são colineares para alguns números complexos;

[C] nunca …

Escreva $z$ na forma algébrica 0

Escreva $z$ na forma algébrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 141 Ex. 48

Enunciado

Escreva $z$ na forma algébrica:

  1. $z = \operatorname{cis} \frac{\pi }{3}$
     
  2. $z = 2\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)$
     
  3. $z = \sqrt 3 \operatorname{cis} \left( { – \frac{{5\pi }}{6}} \right)$
     
  4. $z = 2\operatorname{cis} \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)$
     
  5. $z = \operatorname{cis} \frac{{9\pi }}{2}$
     
  6. $z = 9\operatorname{cis} 2\pi $
Escreva $z$ na forma trigonométrica 0

Escreva $z$ na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 141 Ex. 47

Enunciado

Escreva $z$ na forma trigonométrica:

  1. $z = 1 – i\sqrt 3 $
     
  2. $z =  – 1 + i$
     
  3. $z =  – 5$
     
  4. $z = 3i$
     
  5. $z = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}i$
     
  6. $z =  – \sqrt 2  – \sqrt 6 i$
     
  7. $z = \frac{4}{{1 – i\sqrt 3 }}$
     
  8. $z
Determine na forma trigonométrica 0

Determine na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 140 Ex. 46

Enunciado

Sendo $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {z = 2\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}}&{\text{e}}&{w = 3\operatorname{cis} \frac{\pi }{2}}
\end{array}$$ determine na forma trigonométrica:

  1. $zw$
     
  2. $\frac{z}{w}$
     
  3. ${z^3}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {zw}& = &{\left( {2\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}} \right) \times \left( {3\operatorname{cis} \frac{\pi }{2}} \right)} \\
      {}& = &{\left( {2 \times 3} \right)\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{3}
Calcule 0

Calcule

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 99 Ex. 60

Enunciado

Calcule:

  1.  
    $${\left( { – 1 – \sqrt 3 i} \right)^6}$$
     
  2.  
    $${\left( {\frac{{2 + 2i}}{{2 – 2i}}} \right)^4}$$
     
  3.  
    $${\left[ {3\operatorname{cis} \left( { – \frac{{4\pi }}{3}} \right)} \right]^5}$$

Resolução >> Resolução

Forma trigonométrica da potência (Fórmula de Moivre):

Se $z = \rho \operatorname{cis} \theta $ é um número

Calcule 0

Calcule

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 97 Ex. 59

Enunciado

Calcule:

  1.  
    $$\frac{{2\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}}}{{4\operatorname{cis} \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}}$$
     
  2.  
    $$\frac{{ – 2}}{{\operatorname{cis} \left( { – \theta } \right)}}$$
     
  3.  
    $$\frac{{ – \operatorname{cis} \frac{\pi }{6}}}{{2\operatorname{cis} \theta }}$$
     
  4.  
    $$\left( {2\operatorname{cis} \frac{{5\pi }}{6}} \right) \times \left[ {3\operatorname{cis} \left( { – \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right]$$

Resolução >> Resolução

Forma trigonométrica do quociente:

Represente na forma trigonométrica 0

Represente na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 96 Ex. 57

Enunciado

Represente na forma trigonométrica:

  1.  $z =  – 3\operatorname{cis} \theta $
     
  2. $z = 2\cos \theta  – 2i\operatorname{sen} \theta $
     
  3. $z =  – \cos \theta  – i\operatorname{sen} \theta $
     
  4. $z = \frac{1}{{2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{3} – \theta } \right)}}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      z& = &{ – 3\operatorname{cis} \theta
Represente na forma trigonométrica o simétrico e o inverso dos números complexos 0

Represente na forma trigonométrica o simétrico e o inverso dos números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 96 Ex. 56

Enunciado

Represente na forma trigonométrica o simétrico e o inverso de cada um dos seguintes números complexos:

  1. $z =  – 3 + 3i$
     
  2. $z = 2\operatorname{cis} \left( { – \pi } \right)$
     
  3. $z = 2,3\operatorname{cis} \left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right)$

Resolução >> Resolução

Forma trigonométrica do simétrico:

Se

Forma trigonométrica do produto de dois números complexos 0

Forma trigonométrica do produto de dois números complexos

Números complexos

Forma trigonométrica do produto:

Se ${z_1} = {\rho _1}\operatorname{cis} {\theta _1}$ e ${z_2} = {\rho _2}\operatorname{cis} {\theta _2}$ são dois complexos não nulos, então $${z_1}.{z_2} = {\rho _1}{\rho _2}\operatorname{cis} \left( {{\theta _1} + {\theta _2}} \right)$$

 

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":680, "height":490, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 …

Calcule o produto na forma trigonométrica 0

Calcule o produto na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 94 Ex. 54

Enunciado

Sendo $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{z_1} = 3\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)}&{\text{;}}&{{z_2} = \sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{\pi }{6}}&{\text{e}}&{{z_3} = \operatorname{cis} \frac{{5\pi }}{6}}
\end{array}$$ calcule:

  1. ${z_1}.{z_2}$
     
  2. ${z_2}.{z_3}$
     
  3. ${z_1}.{z_2}.{z_3}$

Resolução >> Resolução

Forma trigonométrica do produto:

Se ${z_1} = {\rho _1}\operatorname{cis} {\theta _1}$ e ${z_2} = {\rho _2}\operatorname{cis} {\theta

Represente, na forma trigonométrica, os conjugados dos números complexos 0

Represente, na forma trigonométrica, os conjugados dos números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 93 Ex. 53

Enunciado

Represente, na forma trigonométrica, os conjugados dos números complexos:

  1. $z =  – 3$
     
  2. $z = 2i$
     
  3. $z = 2\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)$

Resolução >> Resolução

Forma trigonométrica do conjugado:

Se $z = \rho \operatorname{cis} \theta $, então $\overline z  = \rho \operatorname{cis} \left(

Represente na forma algébrica os números complexos 0

Represente na forma algébrica os números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 92 Ex. 52

Enunciado

Represente na forma algébrica os números complexos:

  1. $z = 5\operatorname{cis} \pi $
     
  2. $z = 3\operatorname{cis} \frac{\pi }{2}$
     
  3. $z = \sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{{7\pi }}{4}$
     
  4. $z = \operatorname{cis} \frac{{7\pi }}{6}$
     
  5. $z = \sqrt 3 \operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      z& = &{5\operatorname{cis}
Represente na forma trigonométrica os números complexos 0

Represente na forma trigonométrica os números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 91 Ex. 51

Enunciado

Represente na forma trigonométrica os números complexos:

  1. $z = 3 + 3i$
     
  2. $z =  – 1 – i$
     
  3. $z = 4i$
     
  4. $z =  – 0,6i$
     
  5. $z =  – \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
     
  6. $z = \sqrt 2  – \sqrt 6 i$
     
  7. $z =  – 3 + \sqrt 3 i$
Considere os números complexos 0

Considere os números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 140 Ex. 45

Enunciado

Considere os números complexos:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {z = x + yi\,\,{\text{de afixo M}}}&;&{{z_1} = x – 4 + i\left( {y + 5} \right)}&{\text{e}}&{{z_2} = x + 4 + i\left( {1 – y} \right)}
\end{array}$$

  1. Para que valores de $x$ e $y$ se tem ${z_1} = 3{z_2}$?
     
  2. Determine e
0

Cardan e a noção de número complexo

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 140 Ex. 44

Enunciado

Gerolamo Cardano (1501 – 1576)

No séc. XVI, ao procurar decompor 10 em dois números cujo produto fosse 40, o Matemático Cardan fez uma primeira abordagem à noção de número complexo, tendo, no entanto, qualificado de “sofisticadas” as raízes quadradas de números negativos e de “subtil e …

Considere a função $f$ 0

Considere a função $f$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 139 Ex. 43

Enunciado

Considere a função $f$, de $\mathbb{C}\backslash \left\{ 0 \right\}$ em $\mathbb{C}$, definida por $$f(z) = \frac{4}{z} + 1 + i$$

  1. Resolva a equação $f(z) = 4$.
     
  2. Fazendo $z = x + yi$, $x \in \mathbb{R}$ e $y \in \mathbb{R}$:
     a) Calcule em função de $x$ e de
Trace no plano de Argand 0

Trace no plano de Argand

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 139 Ex. 42

Enunciado

Trace no plano de Argand o conjunto dos pontos M, afixos de $z$, tais que:

  1. ${z^2}$ tenha por parte real $0$.
     
  2. ${z^2}$ tenha o coeficiente da parte imaginária igual a $2$.
     
  3. ${z^2}$ seja igual a $2i$.

Resolução >> Resolução

Considerando $z = x + yi$, vem ${z^2} …

Quais são os números complexos cujos quadrados são iguais ao seu conjugado? 0

Quais são os números complexos cujos quadrados são iguais ao seu conjugado?

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 139 Ex. 41

Enunciado

Quais são os números complexos cujos quadrados são iguais ao seu conjugado?

Resolução >> Resolução

Considerando $z = x + yi$, vem ${z^2} = \left( {{x^2} – {y^2}} \right) + 2xyi$ e $\overline z  = x – yi$.

Assim, temos:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{z^2} = \overline z }& \Leftrightarrow …