Resolva, em $C$, as equações
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 81 Ex. 48
Enunciado
Resolva, em $C$, as equações:
- ${z^3} – 4{z^2} + 5z = 0$
- $\frac{{{z^2} + z}}{{{z^2} – 1}} = 0$
Resolução
- Ora,
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{{z^3} – 4{z^2} + 5z = 0}& \Leftrightarrow &{z\left( {{z^2} – 4z + 5} \right) = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{z = 0}& \vee &{z = \frac{{4 \pm \sqrt {16 – 20} }}{2}}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{z = 0}& \vee &{z = 2 – i}& \vee &{z = 2 + i}
\end{array}}
\end{array}$$ - Ora,
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{z^2} + z}}{{{z^2} – 1}} = 0}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{{z^2} + z = 0}& \wedge &{{z^2} – 1 \ne 0}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {z = 0 \vee z = – 1} \right)}& \wedge &{\left( {z \ne – 1 \wedge z \ne 1} \right)}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{z = 0}
\end{array}$$
